Question

【題目】課題學習

問題背景1 甲、乙、丙三名同學探索課本上一道題：如圖1，E是邊長為a的正方形ABCD中CD邊上任意一點，以點A為中心，把△ADE順時針旋轉90°，

（1）①在圖1中畫出旋轉后的圖形；②圖1中，與線段AE垂直的線段是 ，說明你的理由；

問題背景2 在正方形ABCD中，∠EAF=45°，點F為BC上一點，點E為DC上一點，∠EAF的兩邊AE、AF分別與直線BD交于點M、N．連接EF。繼續探索時，

甲發現：線段BF，EF，DE之間存在著關系式EF=BF+DE；

乙發現：△CEF的周長是一個恒定不變的值；

丙發現：線段BN，MN，DM之間存在著關系式BN2+DM2=MN2

（2）請你對甲、乙、兩三人中一個結論進行研究，作出判斷，并說明你的理由。

Answer 1

【答案】(1) ①作圖見解析;②AK⊥AE,理由見解析;(2) 甲、乙、丙三名同學的發現都是正確的.理由見解析.

【解析】試題分析: （1）根據圖形旋轉前后所構成的兩圖形全等畫出圖形即可；

（2）①選擇甲，延長CB到K，使BK=DE，連AK，由圖形旋轉的性質可得△AKB≌△AED，可得出∠KAF=∠FAE，進而可得出△AKF≌△AEF，由全等三角形的性質及BK=DE可得出EF=BF+DE；

②選擇乙，延長CB到K，使BK=DE，連AK，由圖形旋轉的性質可得△AKB≌△AED，由全等三角形的性質可得到△AKF≌△AEF，再根據BK=DE即可得出△CEF周長為定值；

③選擇丙，在AK上截取AG=AM，連接BG，GN，由圖形旋轉的性質可得△ABG≌△ADM，△GAN≌△NAM，再由勾股定理即可得出BN2+DM2=MN2．

試題解析:

畫圖如圖1，

延長CB至K，使BK=DE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB,∠ADE=∠ABK=∠BAD=90，

∴△ADE≌△ABK，

∴∠DAE=∠BAK，

∴∠EAK=∠BAK+∠BAE=∠DAK+∠BAE=∠BAD=90，

∴AK⊥AE.

故答案為AK⊥AE.

(2)選擇甲發現：

證明：如圖2，

延長CB到K,使BK=DE,連AK,則△AKB≌△AED，

∵∠BAF+∠DAE=45°，

∴∠KAF=45°，

∴∠KAF=∠FAE.

∵AK=AE，AF=AF，

∴△AKF≌△AEF.

∴KF=EF.

又∵BK=DE，

∴EF=BF+DE

選擇乙發現：

證明：如圖2，

延長CB到K,使BK=DE,連AK,則△AKB≌△AED

∵∠BAF+∠DAE=45°，

∴∠KAF=45°，

∴∠KAF=∠FAE.

∵AK=AE，AF=AF，

∴△AKF≌△AEF.

∴KF=EF.

又∵BK=DE，

∴EF=BF+DE

△CEF周長=CF+CE+EF=CF+CE+(BF+DE)=(CF+BF)+(CE+DE)=BC+DC=2a(定值)

選擇丙發現：

證明：如圖3，

在AK上截取AG=AM，連接BG，GN.

∵AG=AM，AB=AD，∠KAB=∠EAD，

∴△ABG≌△ADM，

∴BG=DM,∠ABG=∠ADB=45°.

又∵∠ABD=45°，

∴∠GBD=90°.

∵∠BAF+∠DAE=45°，

∴∠KAF=45°，

∴∠KAF=∠FAE.

又∵AG=AM，AN=AN，

∴△GAN≌△NAM.

∴NG=MN，

∵∠GBD=90°，

∴BG +BN =NG ，

∴BN +DM =MN .

綜上所述：甲、乙、丙三名同學的發現都是正確的。

點睛:本題考查的是圖形的旋轉,通過旋轉,利用全等三角形,發現邊的關系,再利用直角三角形的勾股定理找到三條線段的平方關系,利用構造法證明△AKF≌△AEF, △GAN≌△NAM是解答此題的關鍵.