Question

【題目】如圖（1），在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分別是AB，AC的中點．若等腰Rt△ADE繞點A逆時針旋轉，得到等腰Rt△AD1E1，如圖（2），設旋轉角為α（0＜α≤180°），記直線BD1與CE1的交點為P．

（1）求證：BD1=CE1；（2）當∠CPD1=2∠CAD1時，求CE1的長；

（3）連接PA，△PAB面積的最大值為　　．（直接填寫結果）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2） （3）2+2

【解析】試題分析：（1）先求證AC＝AB，再由中點可得出結果；
（2）由（1）的結論，在利用勾股定理計算即可；
（3）作出輔助線，利用勾股定理建立方程求出即可．

試題解析：

(1)∵∠A=90°，∠B=45°,

∴∠C=45°,

∴∠C=∠B ,

∴AC=AB,

∵D，E分別是AB，AC的中點 ,

∴CE= AC, BD=AB

∴BD= CE

(2)由(1)知△ABD1≌△ACE1，可證∠CPD1=90°,

∴∠CAD1=45°，∠BAD1=135°

在△ABD1中，可以求得BD12=20+8

∴CE12=20+8

(3) 作PG⊥AB，交AB所在直線于點G，如圖

∵D1，E1在以A為圓心，AD為半徑的圓上，
當BD1所在直線與⊙A相切時，直線BD1與CE1的交點P到直線AB的距離最大，
此時四邊形AD1PE1是正方形，PD1=2，
則BD1=

∴∠ABP=30°，
∴PB=2+

∴點P到AB所在直線的距離的最大值為：PG=1+，

∴△PAB的面積最大值為AB×PG=2+.

故答案是：2+.