Question

【題目】一次函數(shù)y=x的圖象如圖所示，它與二次函數(shù)y=ax2﹣4ax+c的圖象交于A、B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)C．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)
（2）設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為D．
①若點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，且△ACD的面積等于3，求此二次函數(shù)的關(guān)系式；
②若CD=AC，且△ACD的面積等于10，求此二次函數(shù)的關(guān)系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）∵y=ax2﹣4ax+c=a（x﹣2）2﹣4a+c，

∴二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2，

當(dāng)x=2時(shí)，y=x=，

故點(diǎn)C（2，）

（2）

解：

①∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，

∴D（2，﹣，），

∴CD=3，

設(shè)A（m，m）（m＜2），

由S△ACD=3得：×3×（2﹣m）=3，

解得m=0，

∴A（0，0）．

由A（0，0）、D（2，﹣）得：

，

解得：a=，c=0．

∴y=x2﹣x；

②設(shè)A（m，m）（m＜2），

過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于E，則AE=2﹣m，CE=﹣m，

AC===（2﹣m），

∵CD=AC，

∴CD=（2﹣m），

由S△ACD=10得×（2﹣m）2=10，

解得：m=﹣2或m=6（舍去），

∴m=﹣2，

∴A（﹣2，﹣），CD=5，

當(dāng)a＞0時(shí)，則點(diǎn)D在點(diǎn)C下方，

∴D（2，﹣），

由A（﹣2，﹣）、D（2，﹣）得：

，

解得：，

∴y=x2﹣x﹣3；

當(dāng)a＜0時(shí)，則點(diǎn)D在點(diǎn)C上方，

∴D（2，），

由A（﹣2，﹣）、D（2，）得：，

解得，

∴y=﹣x2+2x+．

【解析】（1）先求出對(duì)稱(chēng)軸為x=2，然后求出與一次函數(shù)y=x的交點(diǎn)，即點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）①先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，設(shè)A坐標(biāo)為（m，m），然后根據(jù)面積為3，求出m的值，得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，最后根據(jù)待定系數(shù)法求出a、c的值，即可求出解析式；
②過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于E，設(shè)A坐標(biāo)為（m，m），由S△ACD=10，求出m的值，然后求出點(diǎn)A坐標(biāo)以及CD的長(zhǎng)度，然后分兩種情況：當(dāng)a＞0，當(dāng)a＜0時(shí)，分別求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，代入求出二次函數(shù)的解析式．