Question

【題目】如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線交BC于點F，交△ABC的外接圓⊙O于點D，連接BD，過點D作直線DM，使∠BDM＝∠DAC；

（1）求證：直線DM是⊙O的切線；

（2）若DF＝2，AF＝5，求BD長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DB＝.

【解析】

（1）根據垂徑定理的推論即可得到OD⊥BC，再根據∠BDM＝∠DBC，即可判定BC∥DM，進而得到OD⊥DM，據此可得直線DM是⊙O的切線；

（2）根據三角形內心的定義以及圓周角定理，得到∠BED＝∠EBD，即可得出DB＝DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2＝DFDA，據此解答即可．

（1）如圖所示，連接OD，

∵點E是△ABC的內心，

∴∠BAD＝∠CAD，

∴，

∴OD⊥BC，

又∵∠BDM＝∠DAC，∠DAC＝∠DBC，

∴∠BDM＝∠DBC，

∴BC∥DM，

∴OD⊥DM，

又∵OD為⊙O半徑，

∴直線DM是⊙O的切線；

（2），

∴∠DBF＝∠DAB，

又∵∠BDF＝∠ADB（公共角），

∴△DBF∽△DAB，

∴=，即DB2＝DFDA，

∵DF＝2，AF＝5∴DA＝DF+AF＝7

∴DB2＝DFDA＝14

∴DB＝．