Question

如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側分別作正三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，
連結PQ．以下結論正確的有（　　）個
①PQ∥AE；②AP=BQ；③∠AOB=60°；④CP=CQ；⑤連接OC，則OC平分∠AOE．

A．2個

B．3個

C．4個

D．5個

Answer 1

分析：由于△ABC和△CDE是等邊三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，從而證出△ACD≌△BCE，由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根據∠PCQ=60°推出△PCQ為等邊三角形，又由∠PQC=∠DCE，根據△CQB≌△CPA（ASA），可知CP=CQ正確；利用等邊三角形的性質，BC∥DE，再根據平行線的性質得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，再利用四點共圓得出以及圓心角定理OC平分∠AOE．

解答：解：∵等邊△ABC和等邊△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中

AC=CB ∠ACD=∠BCE CD=CE

∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE=∠DAC，
又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，
在△CQB和△CPA中

∠CBQ=∠CAP CB=AC ∠BCQ=∠ACP

∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴CP=CQ，故④正確；
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ為等邊三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ∥AE①正確，
∵△CQB≌△CPA，
∴AP=BQ②正確，
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等邊△DCE，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，
∴③正確；
連接CO，
∵∠BOA=60°，
∴∠AOE=120°，
∵∠PCQ=60°，
∴O、P、C、Q四點共圓，
∵PC=CQ，
∴∠POC=∠QOC，
∴OC平分∠AOE．
故5個選項都正確．
故選：D．

點評：本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質和平行線的判定以及四點共圓等知識，熟練應用三角形全等的證明是正確解答本題的關鍵．