Question

10、如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ．以下五個結論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP； ⑤∠AOB=60°．其中正確的結論的個數是（　　）

A、2個

B、3個

C、4個

D、5個

Answer 1

分析：根據題意，結合圖形，對選項一一求證，判定正確選項．（根據等邊三角形的性質可證∠DCB=60°，由三角形內角和外角定理可證∠DPC＞60°，所以DP≠DE）

解答：解：①△ABC和△DCE均是等邊三角形，點A，C，E在同一條直線上，
∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120°
∴△ACD≌△ECB
∴AD=BE，故本選項正確；
②∵△ACD≌△ECB
∴∠CBQ=∠CAP，
又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC，
∴△BCQ≌△ACP，
∴CQ=CP，又∠PCQ=60°，
∴△PCQ為等邊三角形，
∴∠QPC=60°=∠ACB，
∴PQ∥AE，故本選項正確；
③∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∴∠ACP=∠BCQ，
∵AC=BC，∠DAC=∠QBC，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴CP=CQ，AP=BQ，故本選項正確；
④已知△ABC、△DCE為正三角形，
故∠DCE=∠BCA=60°?∠DCB=60°，
又因為∠DPC=∠DAC+∠BCA，∠BCA=60°?∠DPC＞60°，
故DP不等于DE，故本選項錯誤；
⑤∵△ABC、△DCE為正三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD=∠CBE，
∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB，
∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°，
∴∠AOB=60°，
故本選項正確．
綜上所述，正確的結論是①②③⑤．
故選C．

點評：本題主要考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質．需要學生將相關知識點融會貫通，綜合運用．