Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，點E在邊AD所在的直線上，連接CE，以CE為邊，作正方形CEFG（點C、E、F、G按逆時針排列），連接BF.

（1）如圖1,當點E與點D重合時，BF的長為 ；

（2）如圖2，當點E在線段AD上時，若AE=1，求BF的長；（提示：過點F作BC的垂線，交BC的延長線于點M，交AD的延長線于點N.）

（3）當點E在直線AD上時，若AE=4，請直接寫出BF的長.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）利用勾股定理即可求出.

（2）過點F作FH⊥AD交AD于的延長線于點H，作FM⊥AB于點M，證出，進而求得MF，BM的長，再利用勾股定理，即可求得.

（3）分兩種情況討論，同（2）證得三角形全等，再利用勾股定理即可求得.

（1）由勾股定理得：

（2）過點F作FH⊥AD交AD于的延長線于點H，作FM⊥AB于點M，如圖2所示：

則FM=AH，AM=FH

∵四邊形CEFG是正方形 ∴EC=EF,∠FEC=90° ∴∠DEC+∠FEH=90°，

又∵四邊形是正方形 ∴∠ADC=90° ∴∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ECD=∠FEH

又∵∠EDC=∠FHE=90°，∴ ∴FH=ED EH=CD=3

∵AD=3,AE=1,ED=AD-AE=3-1=2,∴FH=ED=2

∴MF=AH=1+3=4，MB=FH+CD=2+3=5

在Rt△BFM中，BF=

（3）分兩種情況：

①當點E在邊AD的左側時，過點F作FM⊥BC交BC的反向延長線于點M，交DE于點N.如圖3所示：

同（2）得：

∴EN=CD=3，FN=ED=7

∵AE=4∴AN=AE-EN=4-3=1

∴MB=AN=1 FM=FN+NM=7+3=10

在中

由勾股定理得：

②當點E在邊AD的右側時，過點F作FN⊥AD交AD的延長線于點N，交BC延長線于M，如圖4所示：

同理得：

∴NF=DE=1，EN=CD=3

∴FM=3-1=2，CM=DN=DE+EN=1+3=4

∴BM=CB+CM=3+4=7

在中

由勾股定理得：

故BF的長為