Question

【題目】平面直角坐標系內一點M（x,y）（x≠0），若則稱k為點M的“傾斜比”，如圖，⊙B與y軸相切于點A，點B的坐標為(3,5),點P為⊙B上的動點，則點P的“傾斜比”k的最小值是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

作PH⊥x軸于H，如圖，設P（x，y），利用性對于得到點P的“傾斜比”k=tan∠POH，則點OP與⊙B相切于P點時，∠POH最小，點P的“傾斜比”k有最小值，連接BP、BA，作BD⊥x軸于D，交OP于C，如圖，根據切線的性質得到BA⊥y軸，BP⊥OP，BA=BP=3，證明△OCD≌△BCP得到BC=OC，設CD=t，則BC=OC=5-t，利用勾股定理得到22+t2=（5-t）2，解方程求出t得到tan∠POH=，從而得到點P的“傾斜比”k的最小值．

解：作PH⊥x軸于H，如圖，

設P（x，y），
∵點P的“傾斜比” =tan∠POH，

∴當點P的“傾斜比”k取最小值時，∠POH最小，
∴點OP與⊙B相切于P點時，∠POH最小，點P的“傾斜比”k有最小值，
連接BP、BA，作BD⊥x軸于D，交OP于C，如圖，
∵⊙B與y軸相切于點A，OP切⊙B于P，點B的坐標為（3，5），
∴BA⊥y軸，BP⊥OP，BA=BP=3，
∴OD=3，
在△OCD和△BCP中

∴△OCD≌△BCP（AAS），
∴BC=OC，
設CD=t，則BC=OC=5-t，
在Rt△OCD中，22+t2=（5-t）2，解得t= ，
即CD=，
∴tan∠POH= ，
即點P的“傾斜比”k的最小值是．
故選：D．