Question

80、閱讀材料并完成填空：
你能比較兩個數2001²⁰⁰²和2002²⁰⁰¹的大小嗎？
為了解決這個問題，先把問題一般化，即比較nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（n≥1，且n∈Z）然后，從分析n=1，2，3這些簡單情形入手，從中發現規律，經過歸納，猜想出結論：
（1）通過計算，比較下列①～④各組中兩個數的大小①1²

＜

2¹；②2³

＜

3²；③3⁴

＞

4³；④4⁵

＞

5⁴
（2）從第①小題的結果經過歸納，可以猜想nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小關系是

n≤2時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，n＞2時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ

．
（3）根據上面歸納猜想得到的一般結論，可以得到2001²⁰⁰²

＞

2002²⁰⁰¹（填＞，=，＜）

Answer 1

分析：（1）算出具體數值進行比較；
（2）通過（1）的結論來做；
（3）通過（2）的結論來做．

解答：解：（1）①1²=1，2¹=2；②2³=8，3²=9；③3⁴=81，4³=64；④4⁵=1024，5⁴=625；故①＜；②＜；③＞；④＞；
（2）由（1）可得結論：n≤2時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；n＞2時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；
（3）由（2）的結論可知，2001²⁰⁰²＞2002²⁰⁰¹．

點評：關鍵在于從簡單的特殊的情形入手，從而發現一般規律nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，再應用比較2001²⁰⁰²＞2002²⁰⁰¹．