Question

已知拋物線C₁與x軸的一個交點為交于（-4，0），對稱軸為x=-1.5，并過點（-1，6），
（1）求拋物線C₁的解析式；
（2）求出與拋物線C₁關于原點對稱的拋物線C₂的解析式，并在C₁所在的平面直角坐標系中畫出C₂的圖象；
（3）在（2）的條件下，拋物線C₁與拋物線C₂與相交于A，B兩點（點A在點B的左側），
①求出點A和點B的坐標；
②點P在拋物線C₁上，且位于點A和點B之間；點Q在拋物線C₂上，也位于點A和點B之間、當PQ∥y軸時，求PQ長度的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線的對稱軸，可求得拋物線與x軸的另一個交點的坐標，然后用待定系數法求解即可．
（2）將C₁的解析式化為頂點坐標式，即可得到拋物線C₁的頂點坐標，若C₁、C₂關于原點對稱，那么它們的頂點坐標也關于原點對稱，而二次項系數互為相反數，可據此求出C₂的解析式，進而畫出它的圖象．
（3）①聯立拋物線C₁、C₂的解析式，即可求得A、B的坐標；
②設出點P的橫坐標，根據兩個拋物線的解析式，可得到P、Q兩點的縱坐標，即可得到關于PQ的長和P點橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可求得PQ的最大長度．
解答：解：（1）∵拋物線C₁交x軸于（-4，0），對稱軸為x=-1.5，
∴拋物線C₁與x軸的另一個交點為（1，0）；
設C₁的解析式為：y=a（x+4）（x-1），則有：
a（-1+4）（-1-1）=6，
解得a=-1，
∴y=-（x+4）（x-1），即C₁：y=-x²-3x+4．

（2）由（1）知，拋物線C₁：y=-x²-3x+4=-（x+）²+；
由于C₁、C₂關于原點對稱，則拋物線C₂：y=（x-）²-，
其圖象如圖所示：

（3）①聯立拋物線C₁、C₂的解析式，可得：
，
解得，；
故A（-2，6）；B（2，-6）；
②設P（a，b），則-2≤a≤2，y_p=b=-a²-3a+4，
因為PQ∥y軸，
所以點Q的橫坐標為a，則y_Q=a²-3a-4，
所以PQ=y_p-y_Q=-2a²+8，
即當a=0時，PQ的最大值為8．
點評：此題考查了二次函數的對稱性、函數解析式的確定、函數圖象的幾何變換以及函數圖象交點坐標的求法、二次函數最值的應用等知識，涉及的知識點較多，難度中上．