Question

（2013•燕山區一模）己知二次函數y1=x2-2tx+(2t-1)（t＞1）的圖象為拋物線C₁．
（1）求證：無論t取何值，拋物線C₁與y軸總有兩個交點；
（2）已知拋物線C₁與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），將拋物線C₁作適當的平移，得拋物線C₂：y2=(x-t)2，平移后A、B的對應點分別為D（m，n），E（m+2，n），求n的值．
（3）在（2）的條件下，將拋物線C₂位于直線DE下方的部分沿直線DE向上翻折后，連同C₂在DE上方的部分組成一個新圖形，記為圖形G，若直線y=-

1

2

x+b（b＜3）與圖形G有且只有兩個公共點，請結合圖象求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出b²-4ac的值，根據根的判別式為正數即可得到答案；
（2）首先用含有t的字母表示出點A與點B的坐標，然后根據點D和點E的坐標得到DE=AB=2，從而求得t值，配方后利用平移規律得到平移個數即可；
（3）分三種情況討論后即可求得變量t的取值范圍．

解答：解：（1）令y₁=0，得△=（-2t）²-4（2t-1）=4t²-8t+4=4（t-1）²，
∵t＞1，∴△=4（t-1）²＞0，
∴無論t取何值，方程x²-2tx+（2t-1）=0總有兩個不相等的實數根，
∴無論t取何值，拋物線C₁與y軸總有兩個交點．       

（2）解方程x²-2tx+（2t-1）=0得，x₁=1，x₂=2t-1，
∵t＞1，∴2t-1＞1．得A（1，0），B（2t-1，0），
∵D（m，n），E（m+2，n），∴DE=AB=2，
即2t-1-1=2，解得t=2．                       
∴二次函數為y1=x2-4x+3=(x-2)2-1，
顯然將拋物線C₁向上平移1個單位可得拋物線C₂：y2=(x-2)2，
故n=1．                                        

 （3）由（2）得拋物線C₂：y2=(x-2)2，D（1，1），E（3，1），
翻折后，頂點F（2，0）的對應點為F'（2，2），
如圖，當直線y=-

1

2

x+b經過點D（1，1）時，記為l₃，
此時b=

3

2

，圖形G與l₃只有一個公共點；
當直線y=-

1

2

x+b經過點E（3，1）時，記為l₂，此時b=

5

2

，圖形G與l₂有三個公共點；
當b＜3時，由圖象可知，只有當直線l：y=-

1

2

x+b位于l₂與l₃之間時，圖形G與直線l有且只有兩個公共點，
∴符合題意的b的取值范圍是

3

2

＜b＜

5

2

．

點評：本題主要考查對二次函數圖象上點的坐標特征，根與系數的關系，解一元二次方程，平移的性質等知識點的理解和掌握，能根據性質進行推理是解此題的關鍵．