Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，過點B的直線交x軸于C，且面積為10.

（1）求點C的坐標及直線BC的解析式；

（2）如圖1，設點F為線段AB中點，點G為y軸上一動點，連接FG，以FG為邊向FG右側作正方形FGQP，在G點的運動過程中，當頂點Q落在直線BC上時，求點G的坐標；

（3）如圖2，若M為線段BC上一點，且滿足，點E為直線AM上一動點，在x軸上是否存在點D，使以點D、E、B、C為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）C(3,0)；y=；（2）G點坐標為G(0,),G(0,)；（3）D點坐標為(,0)或 (,0) 或(,0)

【解析】

（1）利用三角形面積公式求出點C坐標，再利用待定系數法求解析式即可；

（2）分兩種情況：①當n＞2時，如圖2-1中，點Q落在BC上，過G點作直線平行于x軸，過點F、Q作該直線的垂線，垂足分別為M、N，求出Q(n-2，n-1).②當n＜2時，如圖2-2，同理可得Q(2-n，n+1)，利用待定系數法求解即可；

（3）利用三角形面積公式求出M坐標，從而求出直線AM的解析式，作BE∥OC交AM于E，當CD=BE時可得四邊形BCDE，四邊形BECD1是平行四邊形，然后進一步得出各點坐標.

（1）∵直線y=2x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，

∴A(-2,0)，B(0,4)，

∴OA=2，OB=4，

∵S△ABC=ACOB=10，

∴AC=5，

∴OC=3，

∴C(3,0)，

設直線BC解析式為y=kx+b，

則：3k+b=0，b=4，

∴k=，

∴直線BC解析式為y=；

（2）∵FA=FB，A(-2,0)，B(0,4)，

∴F(-1,2)，設G(0,n)，

當n＞2時，如圖2-1所示，點Q落在BC上時，過G作直線平行于x軸，過點F、Q作該直線的垂線，垂足分別為M、N，

∵四邊形FGQP是正方形，

∴△FMG≌△GNQ，

∴MG=NQ=1，FM=GN=n-2，

∴Q(n-2，n-1)，

∵Q點在直線y=上，

∴n-1=，

∴n=，

∴G(0,),

當n＜2時，如圖2-2，同理可得：Q(2-n，n+1)，

∵Q點在直線y=上，

∴n+1=，

∴n=，

∴G(0,),

綜上所述，G點坐標為G(0,),G(0,)；

（3）如圖3，設M(m,)，

∵，

∴，

∴，

解得，

∴M(,)，

∴直線AM的解析式為，

作BE∥OC交直線AM與E，此時E(,4)，

當CD=BE時，四邊形BCDE，四邊形BECD1是平行四邊形，

可得：D(,0)，D1(,0)，

根據對稱性可得D關于A的對稱點D2(,0)也符合條件，

綜上所述，D點坐標為：(,0)或 (,0) 或(,0)