Question

【題目】如圖，拋物線交軸于、兩點，交軸于點，點坐標為，以為直徑作，與拋物線交于軸上同一點，連接、.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點是延長線上一點，的平分線交于點，連接，求直線的解析式；

（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點，使得？若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）符合條件的點有兩個：，.

【解析】

（1）將點A代入解析式中即可求出拋物線的解析式；

（2）已知拋物線的解析式，可求出點B的解析式，還需要知道點D的坐標，CD平分，如果連接O’D，那么根據圓周角定理即可求出點D的坐標，然后用待定系數法求直線BD的解析式.

（3）假設存在點，使得，用直線DQ與拋物線解析式聯立，如果能求出P的坐標，則存在，否則不存在.

（1）把代入解析式，可得：

∴

（2）由（1）易得：

∵為的直徑，且，，

∴，，

∵點是延長線上一點，的平分線交于點，

∴，

連接，則，，.

∴軸∴.

∴設直線的解析式為，∴，解得，

∴直線的解析式為.

（3）假設在拋物線上存在點，使得，

設射線交于點，則弧與弧相等.

分兩種情況（如圖所示）：

∵，，，.

∴把點，繞點逆時針旋轉，使點與點重合，則點與點重合，

因此，點符合題意，

∵，，

∴用待定系數法可求出直線解析式為.

解方程組得或

∴點坐標為，坐標為不符合題意，舍去.

∵，

∴點關于軸對稱的點的坐標為也符合題意.

∵，.

∴用待定系數法可求出直線解析式為.

解方程組得或，

∴點坐標為，坐標為不符合題意，舍去.

∴符合條件的點有兩個：，.