Question

【題目】我們定義：有一組鄰角相等且對角線相等的凸四邊形叫做“鄰對等四邊形”．

概念理解

(1)下列四邊形中屬于鄰對等四邊形的有 （只填序號）；

①順次連接任意四邊形各邊中點所得的四邊形；

②順次連接平行四邊形各邊中點所得的四邊形；

③順次連接矩形各邊中點所得的四邊形；

④順次連接菱形各邊中點所得的四邊形；

性質探究

(2)如圖1，在鄰對等四邊形ABCD中，∠ABC=∠DCB，AC=DB，AB＞CD，求證：∠BAC與∠CDB互補；

拓展應用

(3)如圖2，在四邊形ABCD中，∠BCD=2∠B，AC=BC=5，AB=6，CD=4．在BC的延長線上是否存在一點E，使得四邊形ABED為鄰對等四邊形？如果存在，求出DE的長；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）④；（2）見解析；（3）存在這樣一點E，使得四邊形ABED為鄰對等四邊形，DE＝

【解析】

（1）根據中點四邊形的特征，結合鄰對等四邊形的定義求解即可；

（2）延長CD至E，使CE=BA，根據“SAS”可證△ABC≌△ECB，從而BE=CA，∠BAC=∠E．利用等量代換可證BD=BE，從而∠BDE=∠E，然后可證明結論成立；

（3）在BC延長線上取一點E，使得CE=4，連接DE，四邊形ABED即為鄰對等四邊形．連接AE，BD，由等腰三角形的性質和三角形外角的性質可證∠ABC=∠DEB，∠ACE=∠BCD．通過證明CE≌△BCD，可證BD=AE，從而四邊形ABED為鄰對等四邊形．通過證明△ABC∽△DEC，利用相似三角形的性質可求出DE的長.

（1）①順次連接任意四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形，平行四邊形不具備一組鄰角相等且對角線相等，故不是鄰對等四邊形；

②順次連接平行四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形，平行四邊形不具備一組鄰角相等且對角線相等，故不是鄰對等四邊形；

③順次連接矩形各邊中點所得的四邊形是菱形，菱形不具備一組鄰角相等且對角線相等，故不是鄰對等四邊形；

④順次連接菱形各邊中點所得的四邊形是矩形，矩形具備一組鄰角相等且對角線相等，故是鄰對等四邊形；

故答案為④；

（2）∵AB＞CD，故可延長CD至E，使CE=BA，

在△ABC與△ECB中，，

∴△ABC≌△ECB．

∴BE=CA，∠BAC=∠E．

∵AC=DB，

∴BD=BE．

∴∠BDE=∠E．

∴∠CDB+∠BDE=∠CDB+∠E=∠BAC+∠CDB=180°．

即∠BAC與∠CDB互補．

（3）存在這樣一點E，使得四邊形ABED為鄰對等四邊形，

如圖2，在BC延長線上取一點E，使得CE=4，

連接DE，四邊形ABED即為鄰對等四邊形．

理由如下：

連接AE，BD，

∵CE=CD，

∴∠CDE=∠CED．

∵∠BCD=2∠B，

∴∠ABC=∠DEB，∠ACE=∠BCD．

在△ACE與△BCD中，，

∴△ACE≌△BCD．

∴BD=AE，四邊形ABED為鄰對等四邊形．

∵∠CBA=∠CAB=∠CDE=∠CED，

∴△ABC∽△DEC．

∴，

∴.