Question

【題目】如圖，在正方形中，，點、分別是、邊上的動點．

（1）AC等于多少；

（2）若，且點關于的對稱點落在邊上，求的值；

（3）設，直線交直線于點，求與面積之和的最小值．（用含的代數式表示）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當時，與面積之和的最小值為.

【解析】

（1）由正方形的性質可得對角線的長,
（2）由點A與點A′關于PQ對稱知△APQ與△A′PQ關于PQ對稱，再證∠PA′D=∠A′QC，由AB=4，AP=3PD得PD=1，AP=PA′=3，A′D=2，利用正切函數的定義即可得答案,
（3）過點Q作直線MN⊥AD于點M，交BC于點N，則MN⊥BC，證△APQ∽△CTQ得=，設QM=h，則QN=4-h，CT=，繼而知S=ah+（4-h），整理得ah2-（4a+S）h+8a=0，根據方程有實數根得（4a+S）2≥32a2，結合4a+S＞0知S≥（4 -4）a，最后根據S=（4-4）a時可得h=2．

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，且AB=4，
∴AB=BC=4，∠BAC=∠ACB=45°，
∴AC===,

（2）如圖1，

∵點與點關于對稱，

∴與關于對稱，

∴，，

∵，

，

∴,

∵，，

∴，，

在中，由勾股定理得：，

∴.

（3）如圖2，過點作直線于點，交于點，則.

∵，

∴，

∴，

設，則，

∴，∴，

∴，

∴，

整理得：，

∵關于的一元二次方程有實根，∴，

∴，

，又，

∴，

∴，

當時，由方程可得 滿足題意，

故當時，與面積之和的最小值為.