Question

在平面直角坐標系中有一點A（

1

2

，-

3

2

），過A點作x軸的平行線l，在l上有一不與A點重合的點B，連接OA，OB．將OA繞O點順時針方向旋轉α°到OA₁，OB繞O點逆時針方向旋轉α°到OB₁．
（1）當B點在A點右側時，如圖（1）．如果∠AOB=20°，∠A₁OB=110°，α=

 

．這時直線AB₁與直線A₁B有何特殊的位置關系證明你的結論．
（2）如果B點的橫坐標為t，△OAB的面積為S，直接寫出S關于t的函數關式，并指出t的取值范圍．
（3）當α=60時，直線B₁A交y軸于D，求以D為頂點且經過A點的拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）易知∠α=90°；
直線AB₁與直線A₁B可通過證△A₁OB和AOB₁全等得出∠AB₁O=∠A₁BO，因此兩角加上一個相等的對頂角后也應該相等，由于∠_B1OB=α=90°，因此A₁B⊥AB₁．
（2）已知了A的坐標和B的橫坐標即可得出AB的長和AB邊上的高，根據三角形的面積計算公式即可得出S，t的函數關系式．（要注意的本題中，要保證線段的長均為正數）
（3）本題要分兩種情況進行求解，以B在A點右側為例進行說明．
設直線l與y軸的交點為M，根據A的坐標不難得出∠AOM=30°，∠OAM=60°，因此當α=60°時，A₁恰好在直線l上，且A₁，A關于y軸對稱，由此可得出A₁的坐標．求拋物線的解析式關鍵還需知道D點的坐標，根據（1）的全等三角形可得出∠OAB₁=∠OA₁B=60°，因此∠AOD=∠ADO=30°，D，O關于直線l對稱由此可得出D點的坐標，然后用待定系數法即可求出拋物線的解析式．

解答：解：（1）90．垂直，理由：
設AB₁與OB交于C．
在△A₁OB和△AOB₁中，

OA1=OA ∠A1OB=∠AOB1 OB=OB1

∴△A₁OB≌△AOB₁
∴∠A₁BO=∠AB₁O．又∠AB₁O+∠OCB₁=90°，∠OCB₁=∠ACB
∴∠ACB+∠A₁BO=90°
∴B₁A⊥A₁B．

（2）當t＞

1

2

時，S=

3

4

（t-

1

2

）
當t＜

1

2

時，S=

3

4

（t-

1

2

）
（或x≠

1

2

時）S=

3

4

|t-

1

2

|．

（3）當B在A點右側時．如圖（2）（畫圖）
∵A（

1

2

，-

3

2

），若l與y軸交于M．則OM=

3

2

，MA=

1

2

，
∴∠AOM=30°α=60時，A₁點在l上．
∴△OA₁A是等邊三角形．
∴∠AA₁O=60度．
與（1）同理得△A₁OB≌△AOB₁．
∴∠OAB₁=∠OA₁B=60°
∴B₁A∥OA₁
∴D（O，-

3

）．
當B在A點左側時，同理可得B₁A∥OA₁，D（O，-

3

）．（可以證左側，同理得右側）
因此，所求解析式為y=2

3

x²-

3

．

點評：本題考查了圖形的旋轉變換、全等三角形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質、二次函數的應用等知識點．