Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）和B（3，0）兩點，與y軸交于點C，對稱軸與x軸交于點E，點D為頂點，連接BD、CD、BC．

（1）求證△BCD是直角三角形；

（2）點P為線段BD上一點，若∠PCO+∠CDB=180°，求點P的坐標；

（3）點M為拋物線上一點，作MN⊥CD，交直線CD于點N，若∠CMN=∠BDE，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）P（，﹣）；（3）M的坐標（5，12）或（，﹣）

【解析】試題分析：（1）先利用待定系數法求二次函數的解析式，并配方成頂點式求頂點D的坐標，和與y軸的交點C的坐標，由勾股定理計算△BDC三邊的平方，利用勾股定理的逆定理證明△BCD是直角三角形；
（2）作輔助線，構建直角三角形PCQ與直角三角形BDC相似，根據比例式表示出點P的坐標，利用待定系數法求直線BD的解析式，因為點P為線段BD上一點，代入直線BD的解析式列方程可求出點P的坐標；
（3）同理求直線CD的解析式為：y=-x-3，由此表示點N的坐標為（a，-a-3），因為M在拋物線上，所以設M（x，x2-2x-3），根據同角的三角函數得：tan∠BDE=tan∠CMN= ，則 ，如圖2，證明△MGN∽△NFC，列比例式可得方程組解出即可；如圖3，證明△CFN∽△NGM，列比例式可得方程組解出即可；

試題解析：

解：（1）把A（﹣1，0）和B（3，0）兩點代入拋物線y=x2+bx+c中得：

， 解得： ，

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴C（0，﹣3），D（1，﹣4），

由勾股定理得：BC2=32+32=18，

CD2=12+（4﹣3）2=2， BD2=（3﹣1）2+42=20，

∴CD2+BC2=BD2， 即∠BCD=90°，

∴△BCD是直角三角形；

（2）作PQ⊥OC于點Q，

∴∠PQC=90°，

∵∠PCO+∠CDB=180°，

∠PCO+∠PCQ=180°，

∴∠CDB=∠PCQ，

∵∠PQC=∠BCD=90°，

∴△PCQ∽△BDC，

∴=3，

∴PQ=3CQ，

設CQ=m，則PQ=3m，

設P（3m，﹣3﹣m），

設直線BD的解析式為：y=kx+b，

把B（3，0）、D（1，﹣4）代入得： ，解得： ，

∴直線BD的解析式為：y=2x﹣6，

將點P的坐標代入直線BD：y=2x﹣6得：

﹣3﹣m=2×3m﹣6，

∴3m=，﹣3﹣m=﹣3﹣=﹣，

∴P（，﹣）；

（3） M的坐標（5，12）或（，﹣）．