Question

已知a是一元二次方程x²-4x+1=0的兩個實數(shù)根中較小的根，
①不解方程，求a+

1

a

的值；
②根據(jù)①的結(jié)果，求

a

-

1

a

的值；
③先化簡，再求值

1-2a+a2

a-1

-

a2-2a+1

a2-a

-

1

a

．

Answer 1

分析：（1）a是一元二次方程x²-4x+1=0的兩個實數(shù)根中較小的根，則把x=a代入方程可以得到a²+1=4a，則所求的代數(shù)式即可化簡；
（2）首先求得

a

-

1

a

的平方的值，然后確定a的范圍，則

a

-

1

a

的值即可確定；
（3）首先對分式以及二次根式進行化簡，然后進行分式的加減即可求解．

解答：解：（1）∵a是一元二次方程x²-4x+1=0的兩個實數(shù)根中較小的根，
∴a²-4a+1=0，
即a²+1=4a，
則a+

1

a

=

a2+1

a

=

4a

a

=4；

（2）（

a

-

1

a

）²=a+

1

a

-2=4-2=2．
∵一元二次方程x²-4x+1=0的兩個根的和是4，兩根的積是1，
則0＜a＜1，
∴

a

-

1

a

=-

2

；

（3）解方程x²-4x+1=0，得：x=2±

3

，則a=2-

3

，
∴a-1＜0
∴原式=

(1-a)2

a-1

-

(a-1)2

a(a-1)

-

1

a

=a-1+

1

a

-

1

a

=a-1=1-

3

．

點評：此題主要考查的是二次根式的性質(zhì)：以及一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，正確確定a的范圍是關(guān)鍵．