Question

【題目】如圖，在△ABD中，AB＝AD，以AB為直徑的⊙F交BD于點C，交AD于E，CG是⊙F的切線，CG交AD于點G．

（1）求證：CG⊥AD；

（2）填空：

①若△BDA的面積為80，則△BCF的面積為　 　；

②當∠BAD的度數為　 　時，四邊形EFCD是菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①20；②60°

【解析】

（1）連接CF、AC，根據切線的性質得到CG⊥CF，再根據等腰三角形的性質得到∠B＝∠D，∠B＝∠BCF，故可知∠D＝∠BCF得到CF∥AD，故可證明CG⊥AD；

（2）①根據題意證明△BCF∽△BDA，利用即可求解；

②當∠BAD的度數為60°時，可得到△ABD、△AEF是等邊三角形，得到EF是△ABD的中位線，各可證明四邊形EFCD是平行四邊形，再根據△BCF是等邊三角形，得到EF＝CF，故可得到四邊形EFCD是菱形.

（1）證明：連接CF、AC，如圖所示：

∵CG是⊙F的切線，

∴CG⊥CF，

∵AB＝AD，BF＝CF，

∴∠B＝∠D，∠B＝∠BCF，

∴∠D＝∠BCF，

∴CF∥AD，

∴CG⊥AD；

（2）解：①∵AB為⊙F的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴AC⊥BD，

∵AB＝AD，

∴BC＝CD＝BD，

∵CF∥AD，

∴△BCF∽△BDA，

∴，

∴，

∴S△BCF＝S△BDA＝×80＝20；

故答案為：20；

②當∠BAD的度數為60°時，四邊形EFCD是菱形，理由如下：

∵AB＝AD，AF＝EF，∠BAD＝60°，

∴△ABD、△AEF是等邊三角形，

∴AE＝EF＝AF＝BF＝AB＝AD，∠B＝60°，

∴AE＝DE，

∴EF是△ABD的中位線，

∴EF∥BD，EF＝BD＝CD，

∴四邊形EFCD是平行四邊形，

∵CF＝BF，

∴△BCF是等邊三角形，

∴CF＝BF，

∴EF＝CF，

∴四邊形EFCD是菱形；

故答案為：60°．