Question

【題目】問題情境：如圖①,在直角三角形ABC中,∠BAC=90,AD⊥BC于點D,可知：∠BAD=∠C(不需要證明)；

(1)特例探究：如圖②,∠MAN=90,射線AE在這個角的內部,點B.C在∠MAN的邊AM、AN上,且AB=AC,CF⊥AE于點F,BD⊥AE于點D.證明：△ABD≌△CAF；

(2)歸納證明：如圖③,點B,C在∠MAN的邊AM、AN上,點E,F在∠MAN內部的射線AD上,∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求證：△ABE≌△CAF；

(3)拓展應用：如圖④，在△ABC中，AB=AC，AB>BC.點D在邊BC上，CD=2BD，點E.F在線段AD上，∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面積為18，求△ACF與△BDE的面積之和是多少?

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）6.

【解析】

（1）求出∠BDA=∠AFC=90°，∠ABD=∠CAF，根據AAS證△ABD≌△CAF即可；

（2）根據題意和三角形外角性質求出∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，根據ASA證△BAE≌△CAF即可；

（3）求出△ABD的面積，根據△ABE≌△CAF得出△ACF與△BDE的面積之和等于△ABD的面積，即可得出答案.

（1）證明：如圖②,∵CF⊥AE,BD⊥AE,∠MAN=90°，

∴∠BDA=∠AFC=90°，

∴∠ABD+∠BAD=90°,∠BAD+∠CAF=90°，

∴∠ABD=∠CAF，

在△ABD和△CAF中，

∴△ABD≌△CAF(AAS)；

（2）證明：如圖③，∵∠1=∠2=∠BAC，∠1=∠BAE+∠ABE，

∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠2=∠FCA+∠CAF，

∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，

在△BAE和△CAF中，

∴△BAE≌△CAF(ASA)；

（3）如圖④，∵△ABC的面積為18，CD=2BD，

∴△ABD的面積，

由(2)可得△BAE≌△CAF，

即△BAE的面積=△ACF的面積，

∴△ACF與△BDE的面積之和等于△BAE與△BDE的面積之和，

即△ACF與△BDE的面積之和等于△ABD的面積6.