Question

【題目】如圖1，已知點A（a，0），B（0，b），且a、b滿足=0， □ABCD的邊AD與y軸交于點E(0，2)，且E為AD中點，雙曲線經過C、D兩點．

（1）求k的值；

（2）點P在雙曲線上，點Q在y軸上，若以點A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，試求滿足要求的所有點P、Q的坐標；

（3）以線段AB為對角線作正方形AFBH（如圖3），點T是邊AF上一動點，M是HT的中點，MN⊥HT，交AB于N，當T在AF上運動時，的值是否發生改變？若改變，求出其變化范圍；若不改變，請求出其值，并給出你的證明．

Answer 1

【答案】（1）k=4；（2）P1（1，4），Q1（0，6）；P2（-1，-4），Q2（0，-6）；P3（-1，-4），Q3（0，2）；（3）.

【解析】

試題（1）先根據非負數的性質求出a、b的值，故可得出A、B兩點的坐標，設D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t﹣2），再根據反比例函數的性質求出t的值即可；

（2）由（1）知k=4可知反比例函數的解析式為，再由點P在雙曲線上，點Q在y軸上，設Q（0，y），P（x，），再分以AB為邊和以AB為對角線兩種情況求出x的值，故可得出P、Q的坐標；

（3）連NH、NT、NF，易證NF=NH=NT，故∠NTF=∠NFT=∠AHN，∠TNH=∠TAH=90°，MN= HT由此即可得出結論．

試題解析：解：（1）∵ ，∴，解得：，∴A（﹣1，0），B（0，﹣2），∵E為AD中點，∴xD=1，設D（1，t），又∵DC∥AB，∴C（2，t﹣2），∴t=2t﹣4，∴t=4，∴k=4；

（2）∵由（1）知k=4，∴反比例函數的解析式為，∵點P在雙曲線上，點Q在y軸上，∴設Q（0，y），P（x，），①當AB為邊時：

如圖1所示：若ABPQ為平行四邊形，則 =0，解得x=1，此時P1（1，4），Q1（0，6）；

如圖2所示；若ABQP為平行四邊形，則，解得x=﹣1，此時P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；

②如圖3所示；當AB為對角線時：AP=BQ，且AP∥BQ；

∴，解得x=﹣1，∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；

故P1（1，4），Q1（0，6）；P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；

（3）連NH、NT、NF，∵MN是線段HT的垂直平分線，∴NT=NH，∵四邊形AFBH是正方形，∴∠ABF=∠ABH，在△BFN與△BHN中，∵BF=BH，∠ABF=∠ABH，BN=BN，∴△BFN≌△BHN，∴NF=NH=NT，∴∠NTF=∠NFT=∠AHN，四邊形ATNH中，∠ATN+∠NTF=180°，而∠NTF=∠NFT=∠AHN，所以，∠ATN+∠AHN=180°，所以，四邊形ATNH內角和為360°，所以∠TNH=360°﹣180°﹣90°=90°，∴MN=HT，∴=．