Question

【題目】如圖，△ABC是邊長為3 cm的等邊三角形，動點P，Q同時從A，B兩點出發，分別沿AB，BC方向勻速移動，它們的速度都是1 cm/s，當點P運動到B時，P，Q兩點停止運動，設P點運動時間為t(s)．

(1)當t為何值時，△PBQ是直角三角形？

(2)設四邊形APQC的面積為y(cm2)，求y關于t的函數表達式，當t取何值時，四邊形APQC的面積最小？并求出最小面積．

Answer 1

【答案】（1）當t為1或2時，△PBQ是直角三角形；（2）當t為時，四邊形APQC的面積最小，最小面積為cm2.

【解析】

（1）分情況進行討論：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°；在直角三角形中利用30°角所對直角邊等于斜邊一半求解即可；

（2）用△ABC的面積-△PBQ的面積表示出四邊形APQC的面積，即可得出y，t的函數關系式,再將函數關系式轉化為頂點式，即可求出最小值.

(1)由題意可知，∠B＝60°，BP＝(3－t)cm，BQ＝tcm.若△PBQ是直角三角形，則∠BPQ＝30°或∠BQP＝30°，于是BQ＝BP或BP＝BQ，即t＝ (3－t)或3－t＝t.解得t＝1或t＝2，即當t為1或2時，△PBQ是直角三角形．

(2)如圖，過點P作PM⊥BC于點M，

則易知BM＝BP＝ (3－t)cm.

∴PM＝＝ (3－t)cm.

∴S四邊形APQC＝S△ABC－S△PBQ＝×3×－t· (3－t)＝t2－t＋，即y＝t2－t＋，易知0<t<3.

于是y=（t-）2+

∴當t＝時，y取得最小值，為

即當t為時，四邊形APQC的面積最小，最小面積為cm2.