Question

（2004•連云港）如圖，直線y=kx+4與函數y=（x＞0，m＞0）的圖象交于A、B兩點，且與x、y軸分別交于C、D兩點．
（1）若△COD的面積是△AOB的面積的倍，求k與m之間的函數關系式；
（2）在（1）的條件下，是否存在k和m，使得以AB為直徑的圓經過點P（2，0）？若存在，求出k和m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直線的解析式求得點C，D的坐標，從而表示出△COD的面積；根據兩個函數的解析式聯立解方程組求得點A，B的坐標，從而根據△AOD的面積減去△BOD的面積表示出△AOB的面積，再根據兩個三角形之間的面積關系表示出k與m之間的函數關系式；
（2）假設存在，根據直徑所對的圓周角是直角，得到AP⊥BP，從而得到Rt△MAP∽Rt△NPB．再根據相似三角形的對應邊的比相等，得到關于k，m的關系式，結合（1）中的結論進行求解．
解答：解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂，y₁＞y₂），
∵S_△COD=S_△AOB，
∴S_△COD=（S_△AOD-S_△BOD）
∴•OC•OD=（•OD•y₁-•OD•y₂），OC=（y₁-y₂），（2分）
又OC=4，
∴（y₁-y₂）²=8，即（y₁+y₂）²-4y₁y₂=8，（3分）
由可得，代入y=kx+4可得：y²-4y-km=0①
∴y₁+y₂=4，y₁•y₂=-km，
∴16+4km=8，即
又方程①的判別式△=16+4km=8＞0，
∴所求的函數關系式為（m＞0）；（5分）

（2）假設存在k，m，使得以AB為直徑的圓經過點P（2，0）
則AP⊥BP，過A、B分別作x軸的垂線，垂足分別為M、N
∵∠MAP與∠BPN都與∠APM互余，
∴∠MAP=∠BPN（6分）
∴Rt△MAP∽Rt△NPB，
∴
∴，
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，
∴，
即m²-2m（y₁+y₂）+4y₁y₂+（y₁y₂）²=0②（8分）
由（1）知：y₁+y₂=4，y₁•y₂=2，代入②得：m²-8m+12=0，
∴m=2或6，又，
∴或，
∴存在k，m，使得以AB為直徑的圓經過點P（2，0），且或．（10分）
點評：能夠根據直線的解析式求得與坐標軸的交點的坐標；能夠把不規則三角形的面積進行轉換．