Question

【題目】如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，DB=DC=EC，∠A=2∠ADB，AD=m，AB=n．

（1）在圖1中找出與∠ABD相等的角，并加以證明；

（2）求BE的長；

（3）將△ABD沿BD翻折，得到△A′BD．若點A′恰好落在EC上（如圖2），求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析　　（ 2） （3）

【解析】（1）由平行線的性質知∠DBC=∠ADB，由DB=DC，得出∠DCB=∠DBC=∠ADB，由DC=EC，得出∠CDE=∠CED=∠DBC+∠BCE=∠ADB+∠BCE，再由三角形內角和定理即可得出結果；

（2）在BC上取一點F，使CF=AB=n，連接EF，由SAS證得△ABD≌△FCE，得出∠EFC=∠DAB=2∠ADB，∠FEC=∠ADB，EF=AD=m，推出∠BEF=∠EFC﹣∠EBC=2∠ADB﹣∠ADB=∠ADB=∠EBF，BF=EF=m，BC=BF+FC=m+n，再由△EBC∽△ADB，得出==，代入數值即可得出結果；

（3）由折疊性質知A′B=AB=n，∠A′BE=∠ABE，由△A′EB∽△BEC，得出==，代入數值即可得出結果．

解：（1）∠BCE=∠ABD，理由如下：

∵AD∥BC，

∴∠DBC=∠ADB，

∵DB=DC，

∴∠DCB=∠DBC=∠ADB，

∵DC=EC，

∴∠CDE=∠CED=∠DBC+∠BCE=∠ADB+∠BCE，

∵∠DBC+∠DCB+∠CDB=180°，即∠ADB+∠ADB+（∠ADB+∠BCE）=3∠ADB+∠BCE=180°，

又∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°，∠A=2∠ADB，

∴3∠ADB+∠ABD=180°，

∴∠BCE=∠ABD；

（2）在BC上取一點F，使CF=AB=n，連接EF，如圖1所示：

由（1）知：∠ABD=∠FCE，

在△ABD和△FCE中，，

∴△ABD≌△FCE（SAS），

∴∠EFC=∠DAB=2∠ADB，∠FEC=∠ADB，EF=AD=m，

∴∠BEF=∠EFC﹣∠EBC=2∠ADB﹣∠ADB=∠ADB=∠EBF，

∴BF=EF=m，BC=BF+FC=m+n，

∵∠EBC=∠ADB，∠BCE=∠DBA，

∴△EBC∽△ADB，

∴==，即： ==，

∴DB=，

∴BE=；

（3）∵將△ABD沿BD翻折，得到△A′BD，點A′恰好落在EC上，

∴A′B=AB=n，∠A′BE=∠ABE，

由（1）知：∠ABE=∠BCE，

∴∠A′BE=∠BCE，

∵∠A′EB=∠BEC，

∴△A′EB∽△BEC，

∴==，即： =，

整理得：m2+mn﹣n2=0，即（）2+﹣1=0，

解得： =（負值舍去），

∴=．

“點睛”本題主要考查了平行線的性質、等腰三角形的性質、三角形內角和定理、全等三角形的判定與性質、折疊的性質、相似三角形的判定與性質、解一元二次方程等知識；熟練掌握相似三角形的判定與性質是解決問題的關鍵．