Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)E為線段AD的中點(diǎn)．

（Ⅰ）如圖1，求∠DAO的大小及線段DE的長；

（Ⅱ）過點(diǎn)E的直線l與x軸交于點(diǎn)F，與射線DC交于點(diǎn)G．連接OE，△OEF′是△OEF關(guān)于直線OE對(duì)稱的圖形，記直線EF′與射線DC的交點(diǎn)為H，△EHC的面積為3 ．

①如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)H的左側(cè)時(shí)，求GH，DG的長；

②當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)H的右側(cè)時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）∠DAO=60°,DE=2; （Ⅱ）①GH=6，DG=﹣3+;②F（﹣5﹣，0）．

【解析】解：（Ⅰ）∵A（﹣2，0），D（0，2）∴AO=2，DO=2，∴tan∠DAO==，

∴∠DAO=60°，∴∠ADO=30°，∴AD=2AO=4，∵點(diǎn)E為線段AD中點(diǎn)，∴DE=2；

（Ⅱ）①如圖2，

過點(diǎn)E作EM⊥CD，∴CD∥AB，∴∠EDM=∠DAB=60°，∴EM=DEsin60°=，∴GH=6，

∵CD∥AB，∴∠DGE=∠OFE，

∵△OEF′是△OEF關(guān)于直線OE的對(duì)稱圖形，∴△OEF′≌△OEF，∴∠OFE=∠OF′E，

∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∴OE=AD=AE，

∵∠EAO=60°，∴△EAO是等邊三角形，∴∠EOA=60°，∠AEO=60°，

∵△OEF′≌△OEF，∴∠EOF′=∠EOA=60°，

∴∠EOF′=∠AEO，∴AD∥OF′，∴∠OF′E=∠DEH，∴∠DEH=∠DGE，

∵∠DEH=∠EDG，∴△DHE∽△DEG，∴，∴DE2=DG×DH，

設(shè)DG=x，則DH=x+6，∴4=x（x+6），∴x1=﹣3+，x2=﹣3﹣，∴DG=﹣3+．

②如圖3，

過點(diǎn)E作EM⊥CD，∴CD∥AB，∴∠EDM=∠DAB=60°，∴EM=DEsin60°=，∴GH=6，

∵CD∥AB，∴∠DHE=∠OFE，

∵△OEF′是△OEF關(guān)于直線OE的對(duì)稱圖形，∴△OEF′≌△OEF，∴∠OFE=∠OF′E，

∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∴OE=AD=AE，

∵∠EAO=60°，∴△EAO是等邊三角形，∴∠EOA=60°，∠AEO=60°，

∵△OEF′≌△OEF，∴∠EOF′=∠EOA=60°，∴∠EOF′=∠AEO，∴AD∥OF′，

∴∠OF′E=∠DEH，∴∠DEG=∠DHE，

∵∠DEG=∠EDH，∴△DGE∽△DEH，∴，∴DE2=DG×DH，

設(shè)DH=x，則DG=x+6，∴4=x（x+6），∴x1=﹣3+，x2=﹣3﹣，

∴DH=﹣3+．∴DG=3+∴DG=AF=3+，∴OF=5+，∴F（﹣5﹣，0）．