Question

【題目】如圖，△ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分別是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四個結論：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正確結論的序號是（請將所有正確結論的序號都填上）．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS， ∴點P在∠A的平分線上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2﹣PR2 ， AS2=AP2﹣PS2 ，
∵AD=AD，PR=PS，
∴AR=AS，∴①正確；
②∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP∥AR，∴②正確；
③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，
不滿足三角形全等的條件，故③錯誤；
④如圖，連接RS，與AP交于點D．
在△ARD和△ASD中，
，
所以△ARD≌△ASD．
∴RD=SD，∠ADR=∠ADS=90°．
所以AP垂直平分RS，故④正確．
所以答案是：①②④．

【考點精析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質的相關知識點，需要掌握垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等才能正確解答此題．