Question

【題目】如圖，在菱形 OA BC 中，已知點 B（8，4），C（5，0），

點 D 為 OB、AC 交點，點 P 從原點出發向 x 軸正方向運動；

（1） 在點 P 運動過程中，若∠OBP=900，求出點 P 坐標；

（2） 在點 P 運動過程中，若∠PDC+∠BCP=900，求出點 P 坐標；

（3） 點 P 在（2）的位置時停止運動，點 M 從點 P 出發沿 x 軸正方向運動，連結 BM，若點 P 關于BM 的對稱點 P’到 AB 所在直線的距離為 2，求此時點 M 的坐標.

Answer 1

【答案】（1）（10,0）（2）(8，0)（3）點M的坐標為(8+,0)或(8+4,0)

【解析】分析：（1）根據菱形的性質有OD=BD，根據∠OBP=90 ，得到CD∥BP，根據中位線的性質求解即可.

根據 得到,求出,得到點P在以OB為直徑的⊙D上，即可求解.

過點P′作P′N⊥AB交直線AB于點N，交軸于點K，記BM與PP′交點為L，分點P′在直線AB下方時和點P′在直線AB上方時兩種情況進行討論即可.

詳解：（1）在菱形OABC中，有OD=BD，

∵∠OBP=90，∴CD∥BP

∵OD=BD，∴OC=PC

∵C（5,0），

∴P

(2)∵

∴,

∵OC=BC，∴,

∵

,

∴

∴,

∵D為OB中點,

∴點P在以OB為直徑的⊙D上，

∴

故點P(8，0).

（3）過點P′作P′N⊥AB交直線AB于點N，交軸于點K，記BM與PP′交點為L

①如圖，當點P′在直線AB下方時，

∵點P與點P′關于BM對稱

∴

∵ ,

∴Rt△BNP′≌Rt△PKP′,

∴

即為等邊三角形，

在Rt△PLM中，∵，∴PM2=22+（PM）2

解得PM=,∴OM=8+,

∴M1(8+,0),

②如圖，當點P′在直線AB上方時

∵點P與點P′關于BM對稱

∴

在中，

∵′,∴,

∴

∵

∵

∵

在Rt△BPM中,

∵BP=4,∴PM=BP=4

∴OM=8+4 ,

∴M2(8+4,0)

故點M的坐標為(8+,0)或(8+4,0)