Question

【題目】直線：，與軸，軸分別交于兩點，拋物線:，經過點，且與軸的另一個交點為點．

（1）若，求此時拋物線的解析式、頂點坐標及點坐標；

（2）在直線與拋物線圍成的封閉圖形邊界上，橫、縱坐標均為整數的點稱為“神秘點”，求出在（l）的條件下“神秘點”的個數；

（3）①直線與軸的交點的坐標會變嗎？說明理由；

②若拋物線與直線在的范圍內有唯一公共點，請直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），頂點為，；（2）①不會變，理由見解析；②，，

【解析】

（1）將a=1代入一次函數解析式求得點A的坐標，然后將a的值及 A點坐標代入二次函數解析式求得b的值，然后利用配方法和二次函數的性質求二次函數頂點坐標及點C的坐標；

（2）通過聯立方程組求得直線與拋物線的交點坐標，從而確定“神秘點”的個數；

（3）①將一次函數變形為，然后分析無論取何非零實數，恒為0，從而求解；

②結合點A坐標求得拋物線的解析式及對稱軸，然后分a＞0，a＜0時結合函數圖像討論求得a的取值范圍．

解：（1）若，，當時，

∴，

將代入，可得

∴

∴頂點為

∵點，點關于對稱

∴

（2）設直線與拋物線的另一個交點為，

，

解得，，所以交點為和，

所以，直線上神秘點為，，，，，共6個，

拋物線上神秘點為，，，共4個，

綜上，神秘點個數為10；

（1）①不會變，，

當時，無論取何非零實數，恒為0，

所以，直線永遠經過點，所以點坐標不會改變；

②，，

由①知恒過

∴過∴∴

∴

∴與軸恒交于，

對稱軸為不變

∵與在有唯一公共點

∴當時過

解得

∵開口越小，越大

∴

當時

①頂點在上，頂點為

∴

②拋物線恰好過

∴

∴

綜上，，時拋物線與在有唯一公共點