Question

如圖，△ABC內接于⊙O，AB=6，AC=4，D是AB邊上一點，P是優弧BAC的中點，連接PA、PB、PC、PD．
（1）當BD的長度為多少時，△PAD是以AD為底邊的等腰三角形？并證明；
（2）在（1）的條件下，若cos∠PCB=

5

5

，求PA的長．

Answer 1

分析：（1）根據等弧對等弦以及全等三角形的判定和性質進行求解；
（2）過點P作PE⊥AD于E．根據銳角三角函數的知識和垂徑定理進行求解．

解答：解：（1）當BD=AC=4時，△PAD是以AD為底邊的等腰三角形．
∵P是優弧BAC的中點，
∴弧PB=弧PC．
∴PB=PC．
又∵∠PBD=∠PCA（圓周角定理），
∴當BD=AC=4，△PBD≌△PCA．
∴PA=PD，即△PAD是以AD為底邊的等腰三角形．

（2）過點P作PE⊥AD于E，

由（1）可知，
當BD=4時，PD=PA，AD=AB-BD=6-4=2，
則AE=

1

2

AD=1．
∵∠PCB=∠PAD（在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等），
∴cos∠PAD=cos∠PCB=

AE

PA

=

5

5

，
∴PA=

5

．

點評：綜合運用了等弧對等弦的性質、全等三角形的判定和性質、銳角三角函數的知識以及垂徑定理．