Question

如圖，△ABC的邊BC在直線上，AC⊥BC，且AC＝BC，△EFP的邊FP也在直線上，邊EF與邊AC重合，且EF＝FP。

（1）在圖1中，請你通過觀察、測量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數量關系和位置關系；

（2）將△EFP沿直線向左平移到圖2的位置時，EP交AC于點Q，連結AP、BQ。猜想并寫出BQ與AP所滿足的數量關系和位置關系，請證明你的猜想。

 

Answer 1

（1）∠PEF=45°，∠BAP=45°+45°=90°，AB=AP且AB⊥AP．（2）AP⊥B

【解析】

試題分析：（1）根據等腰直角三角形性質得出AB=AP，∠BAC=∠PAC=45°，求出∠BAP=90°即可；

（2）求出CQ=CP，根據SAS證△BCQ≌△ACP，推出AP=BQ，∠CBQ=∠PAC，根據三角形內角和定理求出∠CBQ+∠BQC=90°，推出∠PAC+∠AQG=90°，求出∠AGQ=90°即可．

試題解析：（1）AB=AP且AB⊥AP，

證明：∵AC⊥BC且AC=BC，

∴△ABC為等腰直角三角形，

∴∠BAC=∠ABC=（180°-∠ACB）=45°，

又∵△ABC與△EFP全等，

同理可證∠PEF=45°，

∴∠BAP=45°+45°=90°，

∴AB=AP且AB⊥AP．

（2）BQ與AP所滿足的數量關系是AP=BQ，位置關系是AP⊥BQ，

證明：延長BQ交AP于G，

由（1）知，∠EPF=45°，∠ACP=90°，

∴∠PQC=45°=∠QPC，

∴CQ=CP，

∵∠ACB=∠ACP=90°，AC=BC，

∴在△BCQ和△ACP中

BC＝AC

∠BCQ＝∠ACP

CQ＝CP，

∴△BCQ≌△ACP（SAS），

∴AP=BQ，∠CBQ=∠PAC，

∵∠ACB=90°，

∴∠CBQ+∠BQC=90°，

∵∠CQB=∠AQG，

∴∠AQG+∠PAC=90°，

∴∠AGQ=180°-90°=90°，

∴AP⊥BQ．

考點：全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形