Question

當今的時代是計算機時代，我們知道計算機裝置有一個數據輸入口A和一個運算結果輸出口B．某同學編入下列運算程序將數據輸入且滿足以下性質：
①從A口輸入n=1時，從B口得到a1=

1

3

②當n≥2時，從A口輸入整數n，在B口得到的結果是將前一結果a_n-1先乘以自然數中第n-1個奇數，再除以自然數中第n+1個奇數，試問：
（1）從A口輸入2和3時，從B口分別得到什么數？
（2）從A口輸入20時，從B口得到什么數？
（3）求：a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₁的值．

Answer 1

分析：（1）令n=2、3，根據題目信息列式進行計算即可得解；
（2）先根據（1）的求解，找出規律從而得到a_n的表達式，然后令n=20，進行計算即可得解；
（3）根據（2）中a_n的表達式，利用拆項法拆項，然后進行計算即可．

解答：解：（1）根據題意得，a₂=

a1×1

5

=

1 3 ×1

5

=

1

15

，
a₃=

a2×3

7

=

1 15 ×3

7

=

1

35

；

（2）∵a₁=

1

3

=

1

1×3

，a₂=

1

15

=

1

3×5

，a₃=

1

35

=

1

5×7

，
∴a_n=

1

(2n-1)(2n+1)

，
∴a₂₀=

1

(2×20-1)(2×20+1)

=

1

39×41

=

1

1599

；

（3）a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₁
=

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

4021×4023

=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

4021

-

1

4023

）
=

1

2

（1-

1

4023

）
=

1

2

×

4022

4023

=

2011

4023

．

點評：本題考查了分式的混合運算，根據題目信息列出表達式然后發現是分母是相鄰奇數的乘積，然后利用拆項法解答是解題的關鍵．