Question

【題目】如圖1所示，等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線，根據等腰三角形的“三線合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，則有∠BAD＝30°，BD＝CD＝AB．于是可得出結論“直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”．

請根據從上面材料中所得到的信息解答下列問題：

（1）如圖2所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線交AB于點D，垂足為E，當BD＝5cm，∠B＝30°時，求△ACD的周長．

（2）如圖3所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D是BC的中點，DE⊥AB，垂足為E，求BE：EA的值．

（3）如圖4所示，在等邊△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點，且AE＝DC，AD、BE交于點P，作BQ⊥AD于Q，若BP＝2，求PQ的長．

Answer 1

【答案】（1）15cm；（2）3：1；（3）PQ＝1.

【解析】

（1）根據線段垂直平分線的性質知CD＝BD，得出△ACD的周長＝AC+AB；

（2）連接AD．利用等腰三角形的性質、垂直的定義推知∠B＝∠ADE＝30°，然后由”30度角所對的直角邊是斜邊的一半“分別求得BE、AE的值，即可得出結果；

（3）根據全等三角形的判定定理SAS證明△BAE≌△ACD，根據全等三角形的對應角相等，以及三角形外角的性質，可以得到∠PBQ＝30°，根據直角三角形的性質得出PQ＝1，再由勾股定理求出BQ即可．

解：（1）∵DE是線段BC的垂直平分線，∠ACB＝90°，

∴CD＝BD，AD＝BD．

又∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，

∴

∴△ACD的周長=AC+AB=3BD=15cm．

故答案為：15cm；

（2）如圖，連接AD，

∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D是BC的中點，

∴∠BAD＝60°．

又∵DE⊥AB，

∴∠B＝∠ADE＝30°，

∴

∴

又∵

∴BE：AE＝3：1．

故答案為：3：1．

（3）∵△ABC為等邊三角形．

∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，

在△BAE和△ACD中，

∴△BAE≌△ACD（SAS），

∴∠ABE＝∠CAD．

∵∠BPQ為△ABP外角，

∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAD．

∴∠BPQ＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°

∵BQ⊥AD，

∴∠PBQ＝30°，

∴BP=2PQ=2，

∴PQ=1.