Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E是CD上一點，DF⊥BE交BE的延長線于點G，交BC的延長線于點F．
（1）求證：△BCE≌△DCF．
（2）若∠DBE=∠CBE，求證：BD=BF．
（3）在（2）的條件下，求CE：ED的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°，

∴∠CBE﹢∠BEC=90°，

又∵BG⊥DF，

∴∠CBE﹢∠F=90°，

∴∠BEC=∠F，

在△BCE與△DCF中，

，

∴△BCE≌△DCF（AAS）

（2）解：證明：∵BG⊥DF

∴∠BGD=∠BGF

在△DBG與△FBG中，

，

∴△DBG≌△FBG（ASA），

∴BD=BF；

（3）解：解：延長AD、BG交于點H．

∵BD=BF，BG⊥DF，

∴∠DBG∠FBG，

∵AD∥BC，

∴∠H=∠FBG，

∴∠DBH=∠H，

∴DB=DH，

∵AH∥BC，

∴△BCE∽△HDE，

∴CE：DE=BC：DH，

∴CE：DE=BC：DB．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC：BD=1： ．

∴CE：DE=1： ，

∴CE：DE的值為 ．

【解析】（1）根據四邊形ABCD是正方形可知BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°，再由BG⊥DF，可知∠CBE﹢∠F=90°，根據AAS定理即可得出△BCE≌△DCF；（2）根據ASA定理得出△DBG≌△FBG，由全等三角形的性質即可得出結論；（3）延長AD、BG交于點H，由全等三角形的判定定理得出△BCE∽△HDE，再根據相似三角形的對應邊成比例即可得出結論．
【考點精析】通過靈活運用正方形的性質和相似三角形的判定與性質，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．