Question

【題目】某同學用兩個完全相同的直角三角形紙片重疊在一起（如圖1）固定△ABC不動，將△DEF沿線段AB向右平移．

（1）若∠A=60°，斜邊AB=4，設AD=x（0≤x≤4），兩個直角三角形紙片重疊部分的面積為y，試求出y與x的函數關系式；

（2）在運動過程中，四邊形CDBF能否為正方形，若能，請指出此時點D的位置，并說明理由；若不能，請你添加一個條件，并說明四邊形CDBF為正方形？

Answer 1

【答案】（1）y=（0≤x≤4）；(2) 不能為正方形，添加條件：AC=BC時，當點D運動到AB中點位置時四邊形CDBF為正方形．

【解析】分析：（1）根據平移的性質得到DF∥AC，所以由平行線的性質、勾股定理求得GD=，BG==，所以由三角形的面積公式列出函數關系式；（2）不能為正方形,添加條件:AC=BC時,點D運動到AB中點時，四邊形CDBF為正方形；當D運動到AB中點時，四邊形CDBF是菱形，根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”推知CD=AB,BF=DE,所以AD=CD=BD=CF,又有BE=AD,則CD=BD=BF=CF,故四邊形CDBF是菱形，根據有一內角為直角的菱形是正方形來添加條件.

詳解：（1）如圖（1）

∵DF∥AC，

∴∠DGB=∠C=90°，∠GDB=∠A=60°，∠GBD=30°

∵BD=4﹣x，

∴GD=，BG==

y=S△BDG=××=（0≤x≤4）；

（2）不能為正方形，添加條件：AC=BC時，當點D運動到AB中點位置時四邊形CDBF為正方形．

∵∠ACB=∠DFE=90°，D是AB的中點

∴CD=AB，BF=DE，

∴CD=BD=BF=BE，

∵CF=BD，

∴CD=BD=BF=CF，

∴四邊形CDBF是菱形；

∵AC=BC，D是AB的中點．

∴CD⊥AB即∠CDB=90°

∵四邊形CDBF為菱形，

∴四邊形CDBF是正方形．