Question

如圖，分別以△ABC的邊AB、AC向外作等邊△ABE和等邊△ACD，直線BD與直線CE相交于點O．

(1)求證：CE＝BD；
(2)如果當點A在直線BC的上方變化位置，且保持∠ABC和∠ACB都是銳角，那么∠BOC的度數是否會發生變化？若變化，請說明理由；若不變化，請求出∠BOC的度數：
(3)如果當點A在直線BC的上方變化位置，且保持∠ACB是銳角，那么∠BOC的度數是否會發生變化？若變化，請直接寫出變化的結論，不需說明理由；若不變化，請直接寫明結論．

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）不變化，∠BOC=120°；（3）變化，當∠ABC＞120°時，∠BOC=60°， 當∠ABC=120°時，∠BOC不存在，當∠ABC＜120°時，∠BOC=120°.

試題分析：（1）由△ABE和△ACD都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB，AD=AC，利用等式的性質得到∠EAC=∠BAD，利用SAS可得出△AEC≌△ABD，利用全等三角形的對應邊相等即可得證.（2）∠BOC的度數不會發生變化，都為120°，由三角形ADC為等邊三角形，得到∠ADC=∠ACD=60°，再由（1）得到△AEC≌△ABD，利用全等三角形的對應角相等得到∠ACE=∠ADB，由∠BOC為三角形OCD的外角，利用三角形的外角性質及等量代換可得出∠BOC =∠ADC+∠ACD，可求出∠BOC的度數．（3）變化，分∠ABC＞120°，∠ABC=120°，∠ABC＜120°三種情況討論.
試題解析：（1）∵△ABE和△ACD都為等邊三角形，∴∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB，AD=AC.
∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，即∠EAC=∠BAD.
在△AEC和△ABD中，，
∴△AEC≌△ABD（SAS）.∴EC=BD.
（2）不變化，∠BOC=120°.
∵△ADC為等邊三角形，∴∠ADC=∠ACD=60°.
∵△AEC≌△ABD，∴∠ACE=∠ADB.
∵∠BOC為△COD的外角，
∴∠BOC=∠ODC+∠OCD=∠ODC+∠ACD+∠ACE=∠ODC+∠ADB+∠ACD
=∠ADC+∠ACD=120°.
（3）變化.
當∠ABC＞120°時，∠BOC=60°；
當∠ABC=120°時，∠BOC不存在；
當∠ABC＜120°時，∠BOC=120°.