Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的邊BC在x軸上，頂點A在y軸的正半軸上，OA=2，OB=1，OC=4．

（1）求過A、B、C三點的拋物線的解析式；

（2）設點M是x軸上的動點，試問：在平面直角坐標系中，是否存在點N，使得以點A，B，M，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，說明理由；

（3）若拋物線對稱軸交x軸于點P，在平面直角坐標系中，是否存在點Q，使△PAQ是以PA為腰的等腰直角三角形？若存在，寫出所有符合條件的點Q的坐標，選擇一種情況加以說明；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2（2）（0，﹣2），（，2），（﹣，2），（﹣2.5，2）（3）（， ）

【解析】試題分析：（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c．將點A、B、C的坐標代入得到關于a、b、c的方程，從而可求得a、b、c的值；

（2）分為AB為菱形的邊和AB為菱形的對角共可畫出4種不同的圖形，然后依據菱形對邊平行，對角線互相平分的性質確定出點N的坐標即可；

（3）如圖5所示：分別以點A和點P為直角的頂點作出等腰直角△APQ，然后由拋物線的對稱軸方程求得點P的坐標，過點Q1作Q1M⊥x軸，垂足為M．

然后證明△AOP≌△PMQ1，由全等三角形的性質可求得Q1M=OP=，PM=OA=2，于是可求得點Q1的坐標．

試題解析：（1）由題意可知；A（0，2）、B（﹣1，0）、C（4，0）．

設過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=ax2+bx+c．則，解得：

所以拋物線的解析式為y=﹣x2+x+2．

（2）如圖1所示：

∵四邊形ABNM為菱形，

∴OA=ON．

∴點N的坐標為（0，﹣2）．

如圖2所示：

由勾股定理可知：AB=．

∵四邊形ABMN為菱形，

∴NA∥BM，AN=AB，

∴點N的坐標為（﹣，2）．

如圖3所示；

∵四邊形ABMN為菱形，

∴NA∥BM，AN=AB．

∴點N的坐標為（，2）．

如圖4所示：

∵四邊形ABMN為菱形，

∴NA∥BM，AN=NB．

設點N的坐標為（x，2）．由兩點間的距離公式可知：（x+1）2+22=x2．

解得：x=﹣2.5．

∴點N的坐標為（﹣2.5，2）．

∴點N的坐標為（0，﹣2），（，2），（﹣，2），（﹣2.5，2）．

（3）如圖5所示：

使△PAQ是以PA為腰的等腰直角三角形的所有符合條件的點Q的坐標為Q1（， ），Q2（﹣，﹣），Q3（2， ），Q4（﹣2， ）．

說明Q1：過點Q1作Q1M⊥x軸，垂足為M．

∵x=﹣，

∴P（，0）．

∴OP=．

由題意得；∠APQ1=90°，PA=PQ1．

∴∠OPA+∠CPQ1=90°．

∵∠APO+∠OAP=90°，

∴∠OAP=∠MPQ1．

在△AOP和△PMQ1中，

，

∴△AOP≌△PMQ1．

∴Q1M=0P=，PM=OA=2

∴OM=OP+PM=+2=．

∴點Q1的坐標為（， ）．