Question

【題目】在平面直角坐標系中的點，將它的縱坐標與橫坐標的比稱為點的“湘一比”，記為，如點，則．

（1）若在直線上，求點的“湘一比”及直線與軸夾角的正切值；

（2）已知點的“湘一比”為，且在上，的半徑為，若點在上，求的“湘一比”的取值范圍；

（3）設、為正整數，且，對一切實數，如果直線與二次函數交于、，且，求點的“湘一比”的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）根據“湘一比”的定義求出a的值，即可得出結論；
（2）先確定出點Q的坐標，進而判斷出直線OM和⊙Q相切時，兩種情況即可得出kM的最大值和最小值，就是分界點，即可得出結論；
（3）先求出x1=-3，x2=mt，進而建立不等式組，得出m＞2且（mn-6）2≤0，即可得出結論．

解：(1) 在直線上，

，

，

，此時直線與軸夾角的正切值為；

(2)由題意知，

，

，

在上，

或 (舍)，

根據點的”縱橫比”知，直線和相切時，一個是的最大值和另一個是最小值，

當 時， 最小， 此時，

當時，最大，此時，

(3)由題意知，，

，

，，

，

，

∵等于一切實數不等式恒成立，

，

為正整數，

且

，

，

為正整數，

或，，

或.