Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點P是弦AC上一動點（不與A，C重合），過點P作PE⊥AB，垂足為E，射線EP交 于點F，交過點C的切線于點D．
（1）求證：DC=DP；
（2）若直徑AB=12cm，∠CAB=30°， ①當E是半徑OA中點時，切線長DC=cm：
②當AE=cm時，以A，O，C，F為頂點的四邊形是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC．

∵CD是⊙O的切線，

∴∠OCD=90°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵PE⊥AB，

∴∠PEA=90°，

∴∠OAC+∠APE=90°，∠OCA+∠PCD=90°，

∴∠APE=∠PCD，

∵∠APE=∠CPD，

∴∠PCD=∠CPD，

∴DC=DP．

（2）4 ；3
【解析】解：（2）①連接BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°
∵∠A=30°，AB=12，
∵AC=ABcos30°=6 ，
在Rt△APE中，∵AE= OA=3，
∴AP=AE÷cos30°=2 ，
∴PC=AC﹣AP=4 ，
∵∠APE=∠DPC=60°，DP=DC，
∴△DPC是等邊三角形，
∴DC=4 ，
所以答案是4
． ②當AE=EO時，四邊形AOCF是菱形．
理由：連接AF、OF．

∵AE=EO，FE⊥OA，
∴FA=FO=OA，
∴△AFO是等邊三角形，
∴∠FAO=60°，∵∠CAB=30°，
∴∠FAC=30°，∠FOC=2∠FAC=60°，
∴△FOC是等邊三角形，
∴CF=CO=OA=AF，
∴四邊形AOCF是菱形，
∴AE=3cm時，四邊形AECF是菱形．
所以答案是3．
【考點精析】本題主要考查了菱形的判定方法和垂徑定理的相關知識點，需要掌握任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形；垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧才能正確解答此題．