Question

8．如圖，在△ABC中，AB=6cm，AC=BC=5cm，點P從點A出發沿AB方向以1cm/s的速度做勻速運動，點D在BC上且滿足∠CPD=∠A，則當運動時間t=1或5s時，以點C為圓心，以CD為半徑的圓與AB相切．

Answer 1

分析 作CE⊥AB于E，根據等腰三角形的性質得出AE=BE=3，根據勾股定理求得CE=4，即可求得⊙C的半徑為4，進一步求得BD=1，根據證得△PAC∽△DBP得出$\frac{t}{1}$=$\frac{5}{6-t}$，從而求得t的值．

解答 解：作CE⊥AB于E，
∵AB=6cm，AC=BC=5cm，
∴AE=BE=3cm，
∴CE=$\sqrt{A{C}^{2}-A{E}^{2}}$=4cm，
∵⊙C與AB相切．
∴CD=CE=4cm，
∴BD=5-4=1cm，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠BPC=∠CPD+∠BPD=∠A+∠ACP，∠CPD=∠A，
∴∠BPD=∠ACP，
∴△PAC∽△DBP，
∴$\frac{AP}{DB}$=$\frac{AC}{PB}$，即$\frac{t}{1}$=$\frac{5}{6-t}$
解得t₁=1，t₂=5，
故答案為1或5．

點評 本題考查了等腰三角形的性質，勾股定理的應用，切線的性質三角形相似的判定和性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．