Question

（2010•海淀區二模）已知：拋物線y=x²+（a-2）x-2a（a為常數，且a＞0）．
（1）求證：拋物線與x軸有兩個交點；
（2）設拋物線與x軸的兩個交點分別為A、B（A在B左側），與y軸的交點為C．
①當時，求拋物線的解析式；
②將①中的拋物線沿x軸正方向平移t個單位（t＞0），同時將直線l：y=3x沿y軸正方向平移t個單位，平移后的直線為l′，移動后A、B的對應點分別為A′、B′．當t為何值時，在直線l'上存在點P，使得△A′B′P為以A'B'為直角邊的等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）令拋物線的y值等于0，證所得方程的△＞0即可；
（2）①令拋物線的解析式中y=0，通過解方程即可求出A、B的坐標，進而可得到OA的長；易知C（0，-2a），由此可得到OC的長，在Rt△OAC中，根據勾股定理即可得到關于a的方程，可據此求出a的值，即可確定拋物線的解析式；
②根據平移的性質，可用t表示出直線l′的解析式以及A′、B′的坐標；由于拋物線在向右平移的過程中，開口大小沒有變化，因此A′B′的長度和AB相等，由此可得到A′B′的長；若△A′B′P是以A'B'為直角邊的等腰直角三角形，那么可有兩種情況：
①∠PA'B'=90°，此時PA′=A′B′；②∠PB'A'=90°，此時PB′=A′B′；
根據PA′、PB′的表達式及A′B′的長，即可求出t的值．
解答：（1）證明：令y=0，則x²+（a-2）x-2a=0
△=（a-2）²+8a=（a+2）²（1分）
∵a＞0，
∴a+2＞0
∴△＞0
∴方程x²+（a-2）x-2a=0有兩個不相等的實數根；
∴拋物線與x軸有兩個交點（2分）
（2）①令y=0，則x²+（a-2）x-2a=0，
解方程，得x₁=2，x₂=-a
∵A在B左側，且a＞0，
∴拋物線與x軸的兩個交點為A（-a，0），B（2，0）．
∵拋物線與y軸的交點為C，
∴C（0，-2a）（3分）
∴AO=a，CO=2a；
在Rt△AOC中，，a²+（2a）²=20，
可得a=±2；
∵a＞0，
∴a=2
∴拋物線的解析式為y=x²-4；（4分）
②依題意，可得直線l'的解析式為y=3x+t，A'（t-2，0），B'（t+2，0），A'B'=AB=4
∵△A'B'P為以A'B'為直角邊的等腰直角三角形，
∴當∠PA'B'=90°時，點P的坐標為（t-2，4）或（t-2，-4）
∴|3（t-2）+t|=4
解得或（6分）
當∠PB'A'=90°時，點P的坐標為（t+2，4）或（t+2，-4）
∴|3（t+2）+t|=4
解得或（不合題意，舍去）
綜上所述，或．（7分）
點評：此題是二次函數的綜合題，涉及到根的判別式、勾股定理、二次函數解析式的確定、等腰直角三角形的判定和性質等知識，需注意的是在等腰直角三角形的直角頂點不確定的情況下，要分類討論，以免漏解．