Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+3交x軸于A、B兩點（A在B左邊），交y軸于C點，且OC=3OA，對稱軸x=1交拋物線于D點．

（1）求拋物線解析式；

（2）求證：△BCD為直角三角形；

（3）在x軸上方的拋物線上，是否存在點M，過M作MN⊥x軸于N點，使△BMN與△BCD相似？若存在，請求出M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【考點】二次函數綜合題．

【分析】（1）將x=0代入可求得y=3，故此可知C（0，3），OC=3，OA=1，則點A的坐標為（﹣1，0），由點B與點A關于x=1對稱可知B（3，0），將點A、點B的坐標代入拋物線的解析式，從而求得a=﹣1，b=2；

（2）先利用配方法求出拋物線的頂點D的坐標，再利用兩點間的距離公式得出CD²+BC²=BD²，由勾股定理的逆定理即可證明△BCD為直角三角形；

（3）由（2）知，CD=，BC==3．設M（x，﹣x²+2x+3），則MN=﹣x²+2x+3，BN=3﹣x，由于∠MNB=∠BCD=90°，所以當△BMN與△BCD相似時，分兩種情況：①△BMN∽△BDC；②△BMN∽△DBC．然后根據相似三角形的性質列出關于x的方程，從而求得點M的坐標．

【解答】解：（1）∵將x=0代入y=ax²+bx+3，得y=3，

∴C（0，3）．

∵OC=3OA，

∴OA=1，

∴A（﹣1，0）．

∵點B與點A關于x=1對稱，

∴B（3，0）．

將A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax²+bx+3得：

，

解得：．

∴拋物線解析式為y=﹣x²+2x+3；

 

（2）∵y=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）²+4，

∴頂點D的坐標為（1，4）．

∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），

∴CD²=（1﹣0）²+（4﹣3）²=2，

 BC²=（3﹣0）²+（0﹣3）²=18，

BD²=（1﹣3）²+（4﹣0）²=20，

∴CD²+BC²=BD²，

∴△BCD為直角三角形；

 

（3）由（2）知，CD=，BC==3．

設在x軸上方的拋物線上存在點M（x，﹣x²+2x+3），則﹣1＜x＜3，﹣x²+2x+3＞0，

∵MN⊥x軸于N點，

∴N（x，0），∠MNB=90°，

∴BN=3﹣x，MN=﹣x²+2x+3．

∵Rt△BCD中，∠BCD=90°，

∴∠MNB=∠BCD=90°，

∴當△BMN與△BCD相似時，分兩種情況：

①如果△BMN∽△BDC，那么=，

即=，

解得x₁=3，x₂=﹣，

又∵﹣1＜x＜3，

∴x=﹣，

∴﹣x²+2x+3=，

∴M（﹣，）；

②如果△BMN∽△DBC，那么=，

即=，

解得x₁=2，x₂=3，

又∵﹣1＜x＜3，

∴x=2，

∴﹣x²+2x+3=3，

∴M（2，3）．

綜上所述，M點坐標為（﹣，）或（2，3）．

【點評】本題是二次函數綜合題，其中涉及到利用待定系數法求二次函數的解析式、二次函數的性質、兩點間的距離公式、勾股定理的逆定理、相似三角形的性質等知識點，利用分類討論、數形結合與方程思想是解題的關鍵．