Question

【題目】數學活動﹣旋轉變換
（1）如圖①，在△ABC中，∠ABC=130°，將△ABC繞點C逆時針旋轉50°，得到△A′B′C，連接BB′，求∠A′B′B的大小；
（2）如圖②，在△ABC中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，將△ABC繞點C逆時針旋轉60°得到△A′B′C，連接BB′，以A′為圓心，A′B′長為半徑作圓． （Ⅰ）猜想：直線BB′與⊙A′的位置關系，并證明你的結論；
（Ⅱ）連接A′B，求線段A′B的長度．

Answer 1

【答案】
（1）解：由旋轉變換的性質可知，∠A′B′C=∠ABC=130°，∠BCB′=50°，CB=CB′，

∴∠CB′B=65°，

∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠CB′B=65°

（2）解：（Ⅰ）直線BB′與⊙A′相切，

∵∠A′B′C=∠ABC=150°，∠BCB′=60°，CB=CB′，

∴∠CB′B=60°，

∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠CB′B=90°，

∴直線BB′與⊙A′相切；

（Ⅱ）在Rt△A′B′B中，∠A′B′B=90°，BB′=BC=5，AB′=AB=3，

由勾股定理得，A′B= =

【解析】（1）根據旋轉變換的性質得到∠A′B′C=∠ABC=130°，∠BCB′=50°，CB=CB′，根據等腰三角形的性質求出∠A′B′B的大小；（2）（Ⅰ）根據旋轉變換的性質求出∠A′B′B=90°，根據切線的判定定理證明；（Ⅱ）根據旋轉變換的性質和勾股定理計算即可．
【考點精析】本題主要考查了直線與圓的三種位置關系和旋轉的性質的相關知識點，需要掌握直線與圓有三種位置關系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點；①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了才能正確解答此題．