Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點O作直線EF⊥BD，且交AC于點E，交BC于點F，連接BE、DF，且BE平分∠ABD.

（1）①求證：四邊形BFDE是菱形；②求∠EBF的度數．
（2）把（1）中菱形BFDE進行分離研究，如圖2，G，I分別在BF，BE邊上，且BG=BI，連接GD，H為GD的中點，連接FH，并延長FH交ED于點J，連接IJ，IH，IF，IG．試探究線段IH與FH之間滿足的數量關系，并說明理由；
（3）把（1）中矩形ABCD進行特殊化探究，如圖3，矩形ABCD滿足AB=AD時，點E是對角線AC上一點，連接DE，作EF⊥DE，垂足為點E，交AB于點F，連接DF，交AC于點G．請直接寫出線段AG，GE，EC三者之間滿足的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②；（2）；（3）.

【解析】

（1）①由，推出，，推出四邊形是平行四邊形，再證明即可．

②先證明，推出，延長即可解決問題．

（2）．只要證明是等邊三角形即可．

（3）結論：．如圖3中，將繞點逆時針旋轉得到，先證明，再證明是直角三角形即可解決問題．

（1）①證明：如圖1中，

四邊形是矩形，

，，

，

在和中，

，

，

，，

四邊形是平行四邊形，

，，

，

四邊形是菱形．

②平分，

，

，

，

，

，

，，

，

．

（2）結論：．

理由：如圖2中，延長到，使得，連接．

四邊形是菱形，，

，，

，

在和中，

，

，

，，

，

，

，

是等邊三角形，

，

在和中，

，

，

，，，

，

，

，

，

是等邊三角形，

在中，，，

，

．

（3）結論：．

理由：如圖3中，將繞點逆時針旋轉得到，

，

四點共圓，

，，

，

，

，

在和中，

，

，

，

，，

，

，，

．