Question

【題目】已知：如圖，在矩形ABCD中，點E在邊AD上，點F在邊BC上，且AE＝CF，點G，H在對角線BD上，且BG＝DH．

（1）求證：△BFH≌△DEG；

（2）連接DF，若DF＝BF，則四邊形EGFH是什么特殊四邊形？證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）四邊形EGFH是菱形，見解析.

【解析】

（1）證∠FBH=∠EDG，DE=BF，BH=DG，由SAS即可得出結論；
（2）連接EF交GH于O，由全等三角形的性質得出FH=EG，∠BHF=∠DGE，證出FH∥EG，得出四邊形EGFH是平行四邊形，由等腰三角形的性質得出EF⊥GH，即可得出四邊形EGFH是菱形．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∴∠FBH＝∠EDG，

∵AE＝CF，BG＝DH，

∴DE＝BF，BH＝DG，

在△BFH和△DEG中，，

∴△BFH≌△DEG（SAS）；

（2）解：若DF＝BF，則四邊形EGFH是菱形；理由如下：

連接EF交GH于O，如圖：

由（1）得：△BFH≌△DEG，

∴FH＝EG，∠BHF＝∠DGE，

∴FH∥EG，

∴四邊形EGFH是平行四邊形，

∴OG＝OH，

∵BG＝DH，

∴OB＝OD，

∵DF＝BF，

∴EF⊥GH，

∴四邊形EGFH是菱形．