Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，ED切⊙O于點C，AD交⊙O于點F，∠AC平分∠BAD，連接BF．

（1）求證：AD⊥ED；

（2）若CD=4，AF=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）⊙O的半徑為．

【解析】（1）連接OC，如圖，先證明OC∥AD，然后利用切線的性質得OC⊥DE，從而得到AD⊥ED；

（2）OC交BF于H，如圖，利用圓周角定理得到∠AFB=90°，再證明四邊形CDFH為矩形得到FH=CD=4，∠CHF=90°，利用垂徑定理得到BH=FH=4，然后利用勾股定理計算出AB，從而得到⊙O的半徑．

詳（1）證明：連接OC，如圖，

∵AC平分∠BAD，

∴∠1=∠2，

∵OA=OC，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴OC∥AD，

∵ED切⊙O于點C，

∴OC⊥DE，

∴AD⊥ED；

（2）解：OC交BF于H，如圖，

∵AB為直徑，

∴∠AFB=90°，

易得四邊形CDFH為矩形，

∴FH=CD=4，∠CHF=90°，

∴OH⊥BF，

∴BH=FH=4，

∴BF=8，

在Rt△ABF中，AB=，

∴⊙O的半徑為．