Question

【題目】已知x1、x2是關于x的方程x2+2x+2k﹣4＝0兩個實數根，并且x1≠x2．

(1)求實數k的取值范圍；

(2)若k為正整數，且該方程的根都是整數，求k的值；

(3)若|x1﹣x2|＝6，求的值.

Answer 1

【答案】（1）k＜；（2）k的值為2；（3）7.

【解析】

（1）根據判別式的意義得到△=22-4（2k-4）＞0，然后解不等式即可得到k的范圍；

（2）先確定整數k的值為1或2，然后把k=1或k=2代入方程得到兩個一元二次方程，然后解方程確定方程有整數解的方程即可；

（3）由根與系數的關系可得x1+x2=-2，x1x2=2k-4，利用完全平方公式得到（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=4-4（2k-4）=20-8k，根據|x1-x2|=6，那么20-8k=36，求出k=-2，計算出x1x2=2×（-2）-4=-8，進而求出(x1-x2)2+3x1x2-5的值．

解：（1）依題意得△＝22﹣4（2k﹣4）＞0，

解得：k＜；

（2）因為k＜且k為正整數，

所以k＝l或2，

當k＝l時，方程化為x2+2x﹣2＝0，△＝12，此方程無整數根；

當k＝2時，方程化為x2+2x＝0 解得x1＝0，x2＝﹣2，

故所求k的值為2；

（3）∵x1、x2是關于x的方程x2+2x+2k﹣4＝0兩個實數根，

∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝2k﹣4，

∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝4﹣4（2k﹣4）＝20﹣8k，

∵|x1﹣x2|＝6，

∴20﹣8k＝36，

∴k＝﹣2，

∴x1x2＝2×（﹣2）﹣4＝﹣8，

∴