Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xoy中，點A的坐標為（0,1），取一點B（b，0），連接AB，作線段AB的垂直平分線，過點B作X軸的垂線，記，的交點為P。

（1）當b=3時，在圖1中補全圖形（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）。

（2）小慧多次取不同數值b，得出相應的點P，并把這些點用平滑的曲線連接起來，發現：這些點P竟然在一條曲線L上。

①設點P的坐標為（x，y），試求y與x之間的關系式，并指出曲線L是哪種曲線。

②設點P到x軸，y軸的距離分別為，，求+的范圍。當+=8時，求點P的坐標。

③將曲線在直線y=2下方的部分沿直線y=2向上翻折，得到一條“W”形狀的新曲線，若直線y=kx+3與這條“W”形狀的新曲線有4個交點，直接寫出k的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）答案見解析 （2）①，拋物線 ②（3，5）或（-3，5） ③－＜k＜

【解析】

（1）利用尺規作出線段AB的垂直平分線，過點B作出x軸的垂線即可；

（2）①分x>0或x<0兩種情形利用勾股定理求出x與y的關系即可解決問題；

②由題意得，列出方程即可解決問題．

③求出直線y=2與拋物線 y=的兩個交點為（-，2）和（，2），利用這兩個特殊點，求出k的值即可解決問題.

（1）

（2）①當x＞0時，如圖，連接AP，過點P作PE⊥y軸于點E，

∵l1垂直平分AB

∴PA=PB=y.在Rt△APE中，EP=OB=x，AE=OE-OA=y-1，

由勾股定理得：，整理得：；

當x≤0時，點P（x，y）同樣滿足，

∴曲線L就是二次函數的圖像.即曲線L是一條拋物線.

②由題意可知， ，d2=｜x｜

∴

當x=0時，d1+d2有最小值，

∴d1+d2的范圍是d1+d2≥.

當d1+d2=8時，則

（Ⅰ）當x≥0時，原方程化為.解得x1=3，x2= -5（舍去）.

（Ⅱ）當x＜0時，原方程化為.解得x1=-3，x2= 5（舍去）.

將x=±3代入，得y=5，

∴點P的坐標為（3，5）或（-3，5）；

③k的取值范圍是：－＜k＜.

解答過程如下（過程不需寫）：把y=2代入，得x1=－，x2=.

∴直線y=2與拋物線兩個交點的坐標為（－，2）和（，2）.

當直線y=kx+3過點（－，2）時，可求得k=；

當直線y=kx+3過點（，2）時，可求得k=－.

故當直線y=kx+3與這條“W”形狀的新曲線有4個交點時，k的取值范圍是：－＜k＜.