Question

【題目】如圖，在正方形中，是對角線上的一點，點在的延長線上，連接、、，延長交于點，若，，則下列結論：①；②；③；④，其中正確的結論序號是（ ）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

①證明△AFM是等邊三角形，可判斷； ②③證明△CBF≌△CDE（ASA），可作判斷； ④設MN=x，分別表示BF、MD、BC的長，可作判斷．

解：①∵AM=EM，∠AEM=30°， ∴∠MAE=∠AEM=30°，

∴∠AMF=∠MAE+∠AEM=60°，

∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠FAD=90°，

∴∠FAM=90°-30°=60°，

∴△AFM是等邊三角形，

∴FM=AM=EM， 故①正確；

②連接CE、CF， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠ADB=∠CDM，AD=CD，

在△ADM和△CDM中，

∵ ，

∴△ADM≌△CDM（SAS）， ∴AM=CM，

∴FM=EM=CM， ∴∠MFC=∠MCF，∠MEC=∠ECM，

∵∠ECF+∠CFE+∠FEC=180°， ∴∠ECF=90°，

∵∠BCD=90°， ∴∠DCE=∠BCF，

在△CBF和△CDE中，

∵ ，

∴△CBF≌△CDE（ASA）， ∴BF=DE； 故②正確；

③∵△CBF≌△CDE， ∴CF=CE， ∵FM=EM， ∴CM⊥EF， 故③正確；

④過M作MN⊥AD于N， 設MN=，則AM=AF=，

，DN=MN=， ∴AD=AB= ，

∴DE=BF=AB-AF=，

∴ ，

∵BC=AD= ， 故④錯誤；

所以本題正確的有①②③；

故選：A．