Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，，，是線段上靠近點的三等分點.

（1）若點是軸上的一動點，連接、，當的值最小時，求出點的坐標及的最小值；

（2）如圖2，過點作，交于點，再將繞點作順時針方向旋轉，旋轉角度為，記旋轉中的三角形為，在旋轉過程中，直線與直線的交點為，直線與直線交于點，當為等腰三角形時，請直接寫出的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）α的值為45°，90°，135°，180°．

【解析】

（1）作HG⊥OB于H．由HG∥AO，求出OG，HG，即可得到點H的坐標，作點B關于y軸的對稱點B′，連接B′H交y軸于點M，則B'（-2，0），此時MB+MH的值最小，最小值等于B'H的長；求得直線B′H的解析式為y= ，即可得到點M的坐標為．
（2）依據△OST為等腰三角形，分4種情況畫出圖形，即可得到旋轉角的度數．

解：（1）如圖1，作HG⊥OB于H．

∵HG∥AO，
∴

∵OB=2，OA= ，
∴GB= ，HG= ，
∴OG=OB-GB= ，
∴H（，）

作點B關于y軸的對稱點B′，連接B′H交y軸于點M，則B'（-2，0），
此時MB+MH的值最小，最小值等于B'H的長．

∵B'（-2，0），H（，）

B'H=

∴MB+MH的最小值為

設直線B'H的解析式為y=kx+b，則有

解得：

∴直線B′H的解析式為

當x=0時，y=

∴點M的坐標為：

（2）如圖，當OT=OS時，α=75°-30°=45°；

如圖，當OT=TS時，α=90°；

如圖，當OT=OS時，α=90°+60°-15°=135°；

如圖，當ST=OS時，α=180°；

綜上所述，α的值為45°，90°，135°，180°．