Question

【題目】“分塊計數法”：對有規律的圖形進行計數時，有些題可以采用“分塊計數”的方法．例如：圖1有6個點，圖2有12個點，圖3有18個點，……，按此規律，求圖10、圖n有多少個點？

我們將每個圖形分成完全相同的6塊，每塊黑點的個數相同（如圖），這樣圖1中黑點個數是6×1＝6個；圖2中黑點個數是6×2＝12個：圖3中黑點個數是6×3＝18個；……；所以容易求出圖10、圖n中黑點的個數分別是60、6n．

請你參考以上“分塊計數法”，先將下面的點陣進行分塊，再完成以下問題：

（1）第5個點陣中有　 　個圓圈；第n個點陣中有　 　個圓圈．

（2）小圓圈的個數會等于271嗎？如果會，請求出是第幾個點陣．

Answer 1

【答案】（1）61，3n2﹣3n+1；（2）小圓圈的個數會等于271，它是第10個點陣

【解析】

(1)第2個圖中2個小圓圈為一塊,分為3塊,余1,第3個圖中3個小圓圈為一塊,分為6塊,余1；按此規律得：第5個圖中5個小圓圈為一塊,分為12塊,余1，由此即可求得第n個點陣圖中小圓圈的個數；

(2)代入271,列方程,方程有解則存在這樣的點陣．

解：(1)如圖所示：第1個點陣中有：1個,

第2個點陣中有：2×3 ×(2-1)+1＝7個,

第3個點陣中有：3×3 ×(3-1)+1＝19個,

第4個點陣中有：4×3 ×(4-1)+1＝37個,

第5個點陣中有：5×3 ×(5-1)+1＝61個,

…

第n個點陣中有：n×3(n﹣1)+1＝3n2﹣3n+1,

故答案為：61,3n2﹣3n+1；

(2)3n2﹣3n+1＝271,

n2﹣n﹣90＝0,

(n﹣10)(n+9)＝0,

n1＝10,n2＝﹣9(舍),

∴小圓圈的個數會等于271,它是第10個點陣．